supremum und stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:09 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
Sei f: [a,b] -> R stetig. Es gelte f(a) <= 0 und f(b) > 0, dann gilt für
[mm] x_{0}:= [/mm] sup{ x [mm] \in [/mm] [a,b] | f(x) <= 0 } : [mm] f(x_{0}=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DiscoRue!
Ich sehe eine (vermeintliche) Aufgabenstellung. Und was ist nun damit? Warum hast Du diese hier gepostet?
Sollen wir diese Aufgabenstellung auf ein Reimschema untersuchen? Oder unsere eigenen Aufgaben hinten anhängen?
Ich denke mal: eine (konkrete!) Frage von Deiner Seite (einschl. eigener Ideen) ist doch wirklich nicht zuviel verlangt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
Ups, sorry habe ich vergessen.
Ich kann mit dem Supremum nicht ganz so viel anfangen und
habe sonst auch keine idee!
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Hallo,
wie habt Ihr denn das Supremun einer Menge definiert? das ist natürlich vor jedem Ansinnen einer Lösung zu klären.
Und zur Aufgabe: hier scheint's ja irgendwie auch um Nullstellen zu gehen.
Welcher Satz fällt Du denn ein, wenn es um eine stetige Funktion über einem abgeschlossenen Intervall geht, deren Funktionwert am Intervallanfang <0 und am Ende >0 ist.
Beschreibe auch mal in Worten, welche Elemente in [mm] \{ x \in [a,b] | f(x) \le 0 \} [/mm] enthalten sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
Das Supremum ist ja die gröste obere Schranke, in diesem
fall ist es eben der wert für [mm] x_{0} [/mm] für den gilt: [mm] f(x_{0})=0.
[/mm]
Mir fällt der ZWS ein, nur weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
kleinste obere Schranke natürlich
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> Das Supremum ist ja die kleinste obere Schranke,
Hallo,
genau.
Im konkreten Fall ist also die kleinste obere Schranke [mm] x_0 [/mm] der Zahlen aus dem Intervall gesucht, deren Funktionswert [mm] \le [/mm] 0 ist. Rechts von diesem [mm] x_0 [/mm] sind alo alle Funktionswerte positiv.
Und Du sollst nun zeigen, daß der Funktionswert von [mm] x_0 [/mm] gerade 0 ist, und nicht etwa positiv oder negativ.
Ich denke, daß das anschaulich klar ist.
Lehrreich finde ich es, wenn man sich mal ein beispiel bastelt, an welchem man sieht, daß die Aussage bei verzicht auf die Stetigkeit nicht stimmt.
> in diesem
> fall ist es eben der wert für [mm]x_{0}[/mm] für den gilt:
> [mm]f(x_{0})=0.[/mm]
> Mir fällt der ZWS ein, nur weiß ich nicht wie ich das
> zeigen soll.
Mit dem ZWS liegst Du ja schon gut, den kann man bestimmt gebrauchen.
Er garantiert uns im vorliegenden Fall, daß die Funktion mindestens eine Nullstelle hat.
Die Menge der Nullstellen (N) ist ja sicher eine Teilmenge der Menge (M), die Du betrachten sollst.
Ich würde jetzt versuchen zu zeigen, daß die Annahme, daß [mm] f(x_0)<0 [/mm] ist zu einem Widerspruch führt - das geht mithilfe der Stetigkeitsdefinition oder aber mit dem ZWS.
Danach kann man dann noch die Annahme [mm] f(x_0)>0 [/mm] zum Widerspruch führen - auch über die Stetigkeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:53 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
ich weiß echt nicht, wie man das über den ZWS oder die Stetigkeit zeigen soll.
Die Idee ist absolut verständlich, nur ich scheitere an der umsetzung
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> ich weiß echt nicht, wie man das über den ZWS oder die
> Stetigkeit zeigen soll.
> Die Idee ist absolut verständlich, nur ich scheitere an
> der umsetzung
Hallo,
und wie soll man Dir nun weiterhelfen?
Du weißt, daß wir eigene Lösungsansätze von Dir erwarten - Ideen hatte ich ja geliefert.
Um Dir weiterzuhelfen, wäre es nötig zu sehen, was Du bisher wie umgesetzt hast und an welcher Stelle Du scheiterst.
Wenn Du nicht vorrechnest, kann man Dir schlecht helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 11.12.2008 | | Autor: | DiscoRue |
Sei [mm] f(x_{0}) [/mm] > 0!
Dann folgt, dass [mm] f(x_{0)} \not\in [/mm] sup{x [mm] \in [/mm] [a,b] | f(x) <= 0}!
dass ist meine einzige idee für [mm] f(x_{0}) [/mm] > 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 11.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]f(x_{0})[/mm] > 0!
>
> Dann folgt, dass [mm]f(x_{0)} \not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup{x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[a,b] | f(x) <=
> 0}!
Seit wann ist das Supremum eine Menge?!?
> dass ist meine einzige idee für [mm]f(x_{0})[/mm] > 0
Das ist aber nicht viel.
Du weisst doch, dass $f$ stetig ist. Willst du das nicht mal verwenden?
Wenn $f$ stetig ist und [mm] $f(x_0) [/mm] > 0$ ist, kann $f(x) [mm] \le [/mm] 0$ fuer jedes $x < [mm] x_0$ [/mm] gelten (oder fuer $x < [mm] x_0$ [/mm] die beliebig nahe an [mm] $x_0$ [/mm] dran liegen)?
LG Felix
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