(streng) monoton wachsend... < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe lediglich folgende Verständnisfrage zur Definition, wann eine Funktion monoton wachsend und wann sogar streng monoton wachsend ist. Ich habe das wie folgt verstanden: Ist die 1. Ableitung einer Funktion für alle x größer gleich 0, ist die Funktion monoton wachsend. Ist sie für alle x größer 0, STRENG monoton wachsend. Ist das richtig?
Bsp.:
Man betrachte die Funktion f(x) = [mm] x^2.
[/mm]
Die ist doch im Intervall ]0; [mm] \infty[ [/mm] streng monoton wachsend, im Intervall [0; [mm] \infty[ [/mm] jedoch nur monoton wachsend, da f´(0) = 0, richtig? Oder habe ich etwas falsch verstanden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe lediglich folgende Verständnisfrage zur
> Definition, wann eine Funktion monoton wachsend und wann
> sogar streng monoton wachsend ist. Ich habe das wie folgt
> verstanden: Ist die 1. Ableitung einer Funktion für alle x
> größer gleich 0, ist die Funktion monoton wachsend. Ist sie
> für alle x größer 0, STRENG monoton wachsend. Ist das
> richtig?
> Bsp.:
> Man betrachte die Funktion f(x) = [mm]x^2.[/mm]
>
> Die ist doch im Intervall ]0; [mm]\infty[[/mm] streng monoton
> wachsend, im Intervall [0; [mm]\infty[[/mm] jedoch nur monoton
> wachsend, da f´(0) = 0, richtig?
Diese Funktion ist sogar auf dem Intervall [mm] [0;\infty[ [/mm] streng
monoton wachsend, denn für alle Zahlenpaare (a,b) mit [mm] 0\le [/mm] a<b
gilt
$f(b)-f(a)\ =\ [mm] b^2-a^2\,=\ (\underbrace{b+a}_{>0})*(\underbrace{b-a}_{>0})\ [/mm] >\ 0$
Hallo Morpheus87,
Die Definitionen der Begriffe "monoton wachsend" bzw.
"streng monoton wachsend" stützen sich überhaupt nicht
auf die Ableitung. Diese Begriffe können auch auf Funktionen
angewandt werden, die gar nicht differenzierbar sind.
Bei den Aussagen
"Ist die 1. Ableitung einer Funktion für alle x größer als 0,
ist die Funktion streng monoton wachsend"
bzw.
"Ist die 1. Ableitung einer Funktion für alle x größer gleich 0,
ist die Funktion monoton wachsend"
handelt es sich also nicht um Definitionen, sondern um
Sätze, die aufgrund der Definitionen und der Eigenschaften
der Ableitung zu beweisen sind.
Wichtig ist, sich bewusst zu sein, dass die Umkehrungen
dieser Sätze nicht zutreffen. Aus der Tatsache, dass
eine Funktion streng monoton wachsend ist, kann man
nicht schließen, dass ihre Ableitung überall positiv ist -
man kann nicht einmal schließen, dass die Ableitung
überhaupt existiert. Sogar wenn die Existenz der Ableitung
vorausgesetzt wird, muss sie nicht überall positiv sein
(Beispiel: [mm] f:x\mapsto{x-cos(x)} [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton
wachsend, aber es gibt unendlich viele Stellen [mm] x_k [/mm] mit [mm] f'(x_k)=0 [/mm] ,
nämlich [mm] x_k=k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] )
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 18.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Al-Chwarizmi, in deinem Beispiel ist die 1. Ableitung an den Stellen [mm] \bruch{3}{2}\pi \pm k*2\pi [/mm] jeweils Null, Steffi
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> Hallo Al-Chwarizmi, in deinem Beispiel ist die 1. Ableitung
> an den Stellen [mm]\bruch{3}{2}\pi \pm k*2\pi[/mm] jeweils Null,
> Steffi
Klar, da hab ich mich vertan. Zuerst nahm ich $\ [mm] f(x)\,=\,x-sin(x)$
[/mm]
und hätte besser dabei bleiben sollen. Dann hätte man [mm] x_k=k*2\,\pi
[/mm]
Gruß Al
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