stoch.konverg. Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
[mm] (X_{n})_{n \in \IN}, (Y_{n})_{n \in \IN} [/mm] seien Folgen von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
( [mm] \Omega, [/mm] P), die stochastisch gegen [mm] X_{0} [/mm] bzw. [mm] Y_{0} [/mm] konvergieren: [mm] X_{n} \to X_{0}, \; Y_{n} \to Y_{0} [/mm] . Zu zeigen ist nun:
1. [mm] \alpha X_{n} [/mm] + [mm] \beta Y_{n} \to \alpha X_{0} [/mm] + [mm] \beta Y_{0} \forall \alpha, \beta \in \IR
[/mm]
2. | [mm] X_{n}| \to [/mm] | [mm] X_{0}|
[/mm]
Ich wäre Euch wirklich dankbar wenn ihr mir helfen könntet, denn ich weiß echt nicht was ich hier machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 05.01.2006 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Mach dir klar, dass die folgenden Ungleichungen gelten (am besten über das Gegenereignis):
$P(|(\alpha X_n + \beta Y_n) - (\alpha X_0 + \beta Y_0)| > \varepsilon) \le P\left (|X_n-X_0| > \frac{\varepsilon}{2|\alpha|}\right) + P\left (|Y_n-Y_0| > \frac{\varepsilon}{2|\beta|}\right)$
und
$P(||X_n| - |X_0|| > \varepsilon) \le P(|X_n-X_0| > \varepsilon)$.
Daraus folgt dann jeweils unmittelbar die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
Hallo Julius
Dass nenne ich mal eine schnelle Antwort, ich danke dir =)
Ich hoffe du bist gut ins neue Jahr gestartet.
|( [mm] \alpha X_{n} [/mm] + [mm] \beta Y_{n}) [/mm] - ( [mm] \alpha X_{0} [/mm] + [mm] \beta Y_{0}) [/mm] | > [mm] \varepsilon| [/mm] gilt weil [mm] X_{n} [/mm] gegen [mm] X_{0} [/mm] und [mm] Y_{n} [/mm] gegen [mm] Y_{0} [/mm] konvergieren nehm ich mal an oder!?
aber müsste dann nicht der Betrag kleiner sein als [mm] \varepsilon [/mm] ? Denn wenn ich dass umstelle, also zu |( [mm] \alpha X_{n} [/mm] - [mm] \alpha X_{0} [/mm] + [mm] \beta Y_{n}) [/mm] - [mm] \beta Y_{0}) [/mm] | [mm] \le |\alpha X_{n} [/mm] - [mm] \alpha X_{0} [/mm] | + | [mm] \beta Y_{n}) [/mm] - [mm] \beta Y_{0} [/mm] | [mm] \le \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon
[/mm]
oder soll dass heißen, dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, für das deine Gleichung erfüllt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Nein, da machst du einen Denkfehler.
Die von mir zu zeigende Ungleichung basiert ja auf der Beziehung
$\{|(\alpha X_n + \beta Y_n) - (\alpha X_0 + \beta Y_0)| > \varepsilon\} \subset \left\{|X_n-X_0| > \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} \right\}\cup \left\{|Y_n-Y_0| > \frac{\varepsilon}{2|\beta|} \right\}$.
Diese Beziehung ist äquivalent zu (Übergang zu den Komplementen):
$\{|(\alpha X_n + \beta Y_n) - (\alpha X_0 + \beta Y_0)| \le \varepsilon\} \supset \left\{|X_n-X_0| \le \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} \right\}\cap \left\{|Y_n-Y_0| \le \frac{\varepsilon}{2|\beta|} \right\}$.
Und genau das machen wir uns jetzt mit Hilfe der Dreiecksungleichung klar. Ist nämlich $\omega \in \Omega$ so gewählt, dass
$|X_n(\omega)-X_0(\omega)| \le \frac{\varepsilon}{2|\alpha|}$ und $|Y_n(\omega)-Y_0(\omega)| \le \frac{\varepsilon}{2|\beta|}$,
dann folgt auch:
$\{|(\alpha X_n + \beta Y_n) - (\alpha X_0(\omega) + \beta Y_0(\omega))| \le |\alpha| \cdot |X_n(\omega) - X_0(\omega)| + |\beta| \cdot |Y_n(\omega) - Y_0(\omega)| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$.
Liebe Grüße
Julius
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