stetigkeit und Differenzierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich habe die Funktion f(x)=x*ln(|x|)
ich soll auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen .Weiters steht noch ob man f(x) so erweitern kann das f überall stetig/differenzierbar ist.
Ich habe mir jetzt die Funktion mal vorgezeichnet und wüsste nicht wo sie nicht stetig bzw differenzierbar sein soll.Denn in x=0 ist der ln ja nicht def.
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Hallo,
darfst du bei der Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf die (bekannte) Stetigkeit der einzelnen Faktoren zurückgreifen oder ist ein [mm] \epsilon-\delta [/mm] -Beweis erforderlich?
Falls nicht, dann ist es gerade die Stelle x=0, die überhaupt untersucht werden muss. Das bedeutet konkret, dass sowohl für die Funktion als auch für die 1. Ableitung links- und rechtsseitiger Grenzwert für x->0 gesucht sind. Wenn die übereinstimmen, dann ist f stetig und differenzierbar auf ganz [mm] \IR [/mm] .
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
ich denke schon das ich auf bekannte Funktionen zurückgreifen darf.
somt kann ich sagen das die Funktion auf gant R stetig und differenzierbar ist außer in 0 weil der ln(x) in 0 nicht def ist.f(x) ist ja stetig und diffbar. und ln(x) ebenfalls oder?
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Hallo,
du sollst ja aber noch überprüfen, ob f und f' an der Stelle 0 stetig fortsetzbar sind, das ist ja dann der eigentliche Sinn der Aufgabe. Wie gesagt: Grenzwerte für x->0 berechnen und vergleichen. Habt ihr schon die Regel von de l'Hospital durchgenommen (sie wäre hier sehr hilfreich)?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
wenn ich mir aber die Grenzwerte anschaue habe ich ein Problem
ich hab den Betrag bei der Funktion aufgelöst: x*ln(x) ≥ 0 und x*ln(-x)<0
Stetigkeit bei 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] von links x*ln(-x) =hier steht ja dann 0*(undef.) oder und bei rechtseitigen Limes auch
Differenzierbarkeit bei 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] von links
[mm] \bruch{(x*ln(x))-(0*ln(0))}{x-0} [/mm] hier habe ich ja wieder etwas undef
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Hallo,
deine Formeln kann ich teilweise nicht lesen. Aber genau wegen dem von dir geschilderten Problem habe ich doch de l'Hospital vorgeschlagen. Wenn ihr das schon verwenden dürft, dann nutze bspw.
[mm] x*lnx=\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}
[/mm]
aus.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
du meinst ich soll dann mit [mm] \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] weiterrechnen,weil dann für x=0 im Zähler und Nenner etwas undef dasteht ,soll ich Hospital verwenden
aber das bringt doch nichts oder weil die ableitung ist ja dann ln(x)+1 und somit wieder etwas undef. für x=0
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> du meinst ich soll dann mit [mm]\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
> weiterrechnen,weil dann für x=0 im Zähler und Nenner
> etwas undef dasteht ,soll ich Hospital verwenden
>
> aber das bringt doch nichts oder weil die ableitung ist ja
> dann ln(x)+1 und somit wieder etwas undef. für x=0
Hallo,
es interessiert sich, wenn Du mit l'Hospital arbeiten willst, kein Mensch für die Ableitung von [mm] x*ln(x)=$\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}$ [/mm] .
Für Hospital guckst Du doch den Grenzwert von "Ableitung Zähler durch Ableitung Nenner" an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
stimmt,schon lang nicht mehr angewendet
somit habe ich nach hospital -x
und wie soll ich das jetzt in meine Grenzwerte einbauen?
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> stimmt,schon lang nicht mehr angewendet
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> somit habe ich nach hospital -x
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> und wie soll ich das jetzt in meine Grenzwerte einbauen?
du wolltest doch den grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(|x|) [/mm] berechnen
es ergeben sich dann für links
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}x*ln(|x|)=\limes_{x\rightarrow 0-}\frac{ln(-x)}{\frac{1}{x}}\underbrace{=}_{\frac{\infty}{\infty}}\limes_{x\rightarrow 0-}\frac{\frac{-1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0
[/mm]
und rechts
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x*ln(|x|)=\limes_{x\rightarrow 0+}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}\underbrace{=}_{\frac{\infty}{\infty}}\limes_{x\rightarrow 0+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0
[/mm]
was schließt du daraus?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 15.05.2011 | | Autor: | racy90 |
das die Funktion im Punkt 0 stetig ist oder?
und bei der Differenzierbarkeit schaut es dann so aus oder
lim x-->0 f(x)-f(0)/(x-0) also
[mm] (\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}-\bruch{\infty}{\infty})/(x-0)
[/mm]
wenn ich da jetz wieder Hospital anwende steht ja gekürzt da lim x-->0 [mm] \bruch{-2x}{x-0} [/mm]
oder hab ich eine falsche Überlegung getroffen??
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Hallo,
was die Stetigkeit an der Stelle x=0 anghet, bist du fertig. Für die Differenzierbarkeit könnte man natürlich den Grenzwert des Differenzenquotienten benutzen. Das müsste man erstens korrekt tun (du hast hier einene elementaren Bruchenfehler begangen, ist dir klar, welcher?) und zweitens ist es zu umständlich. Betrachte die Ableitung
[mm]f'(x)=\begin{cases} -ln(-x)+1, & \mbox{für } \mbox{ x<0} \\ ln(x)+1, & \mbox{für } \mbox{ x>0} \end{cases}[/mm]
und du siehst unmittelbar, wie es an der Stelle x=0 um die Differenzierbarkeit bestellt ist.
Gruß, Diophant
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