stetigkeit im Nullpunkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Zeige, dass ie Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ,
[mm] f(x)=\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] wenn [mm] x\not=0 [/mm] und f(0)=1
stetig im Nullpunkt ist. |
Ich bin auch hier leicht überfordert:
wie soll bei der gegebenen Funktion f(0)=1 sein und gleichzeitig x [mm] \not= [/mm] 0
ich kann mir da nur vorstellen, dass das irgendwie mit einer Nullfolge machbar währe, wüsste aber nicht wie ich damit das Problem lösen sollte...
ich glaube dass diese Funktion bei 0 nicht stetig sein kann, da 0 nicht im Definitionsbereich liegen kann (division durch null)
Ich habe diese Frage in keinem forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MFG
Christoph
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Hallo CPH 
ob eine Funktion stetig in einem Punkt ist, hat erstmal nix mit dem Definitionsbereich zu tun.
Die Frage aus der Aufgabe ist eben, ob die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{sinx}{x}, & \mbox{für }x\not=0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
stetig ist, oder nicht.
d.h. du musst überprüfen, ob [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x) = 1[/mm] und somit f folgenstetig in 0 ist.
Gruß,
Gono.
PS: Die Funktion ist stetig 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Was bedeutet folgenstetig, bzw. wie wende ich zum Überprüfen von Stetigkeit an, dass stetige Funktionen konvergente Folgen in konvergente Folgen überführen?
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Also mit stetigkeit kenne ich mich nicht aus, aber ich kann dazu glaube ich etwas sagen:
Wenn wir uns mal die Definitionslücke x=0 ansehen, dann stellt man fest, dass dort keine Polstelle vorliegt.
Man hat (für x=0) dort den Fall 0/0 (also einen "unbestinnten Ausdruck" vorliegen.
D.h. man hat dort keine Polstelle, sondern einen "Loch" im Graphen, sondern eine hebbare Def-Lücke.
Denke, dass dir diese Info zu deiner "Folgestetigkeit" helfen kann.
Dann bildest du den lim von f(x) gegen eins und sollst dann herausfinden, dass der gegen 1 geht.
Wir machen das ganze momentan (leider) nur mit gebrochenrat. Funktionen, und da gehts dann so, indem man den Wert von der hebbaren Def-Lücke von einer Ersatzfunktion, die durch Kürzen rauskommt als Limes angibt.
Da das hier aber nicht geht, wirst du da mit dir bekannten anderen Mitteln rangehen müssen.
MfG
Kroni
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Hiho,
Folgenstetigkeit ist:
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)[/mm] bzw.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(x_0)[/mm] für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n = x_0[/mm].
Das eine stetige Funktion konvergente Folgen also in konvergente Folgen überführt ist die Definition von Folgenstetigkeit. Und mehr noch, die Folge der Funktionswerte der Folgenglieder konvergiert nicht nur, sondern sie hat als Grenzwert auch noch den Funktionswert des Grenzwertes der Ursprungsfolge (!).
Soviel erstmal dazu, was hat das alles mit deiner Aufgabe zu tun?
Naja, recht einfach: Wenn du zeigen willst, daß deine Funktion bei 0 stetig ist, musst du zeigen, daß JEDE Folge von Funktionswerten von Folgegliedern einer Folge, die gegen Null konvergiert, den Grenzwert Eins hat.
Oder mathematisch Ausgedrückt:
Für alle Folgen [mm] (x_n), [/mm] für die gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n = 0[/mm] muss gelten [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(0) = 1[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Bitte siehe dir mal meine Lösung an, ist die "mathematisch" korrekt, oder darf ich so nicht rechnen?
Sei [mm] (x_n)_n [/mm] iene reelle Nullfolge, also gilt:
[mm] lim_{n \rightarrow \infty} x_n [/mm] = x= 0.
z.z:
[mm] lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) [/mm] = f(0) = 1
Annahme:
[mm] lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) \not= [/mm] f(0) = 1
[mm] \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) [/mm]
[mm] =lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{sin(x_n)}{x_n} \not= [/mm] 1
Da die Sinusfunktion und die Funktion f(x)=x stetig sind kann ich die grenzwerte hereinziehen:
[mm] sin(lim_{n \rightarrow \infty} x_n) \not= [/mm] 1 [mm] lim_{n \rightarrow \infty} x_n [/mm]
d.h.
sin (0) [mm] \not= [/mm] 1*0
d.h.
0 [mm] \not= [/mm] 0.
=> Annahme falsch,
=> f in 0 stetig.
MFG
Ch
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Schöner Versuch, funktioniert aber leider nicht
> [mm]sin(lim_{n \rightarrow \infty} x_n) \not=[/mm] 1 [mm]lim_{n \rightarrow \infty} x_n[/mm]
Um darauf zu kommen, hast du doch mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] multipliziert, es gilt aber nach Voraussetzung [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n = 0[/mm] und mit 0 darfst du nicht multiplizieren
Ich geb dir mal nen anderen Ansatz:
Sei [mm] (x_n) \subset \IR [/mm] Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n = 0[/mm].
Betrachten:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(x_n)}{x_n}[/mm].
Gleiche Argumentation wie bei dir: Sinus stetig, Identität stetig [mm] \Rightarrow [/mm] Limes reinziehen.
[mm]=\bruch{sin(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)}{\limes_{n\rightarrow\infty}x_n} (=\bruch{0}{0})[/mm]
ergo: l'Ho(s)pital.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
was besagt die Regel von
l'Ho(s)pital.
die haben wir in der schule nicht gelernt und an der uni auch nicht
und vor allem wie komme ich von
$ [mm] =\bruch{sin(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)}{\limes_{n\rightarrow\infty}x_n} (=\bruch{0}{0}) [/mm] $ darauf, dass das gleich 1 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Sa 13.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du l'Hopital nicht kennst, ersetz einfach sinx in der Nähe von 0 durch (sin'(0)*x= cos(0)*x=x. Dann kannst du kürzen.
Begründung: [mm] \limes_{x\rightarrow0}((f(x)-f(0)/x)=f'(0) [/mm] nach f(x) aufgelöst und f(0)=0
Anders ausgedrückt, nimm den Anfang der Reihe für sinx
Gruss leduart
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Hiho,
eine andere Möglichkeit wäre "zu Fuß" zu beweisen, daß der Grenzwert 1 ist, über die Definition.
wäre zu zeigen: [mm]\forall\varepsilon > 0 \exists n_0 \forall n \ge n_0: |\bruch{sinx_n}{x_n} - 1| < \varepsilon[/mm]. Das geht auch, ist zwar nen bissl schreibarbeit, aber von der Sache her nicht schwer.
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:13 So 14.01.2007 | | Autor: | CPH |
erst mal danke für eure tipps,
ich kenne die Konvergenzdefiniton
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N :
[mm] \left| \bruch{sin(x_N)}{x_N}-1 \right| <\varepsilon
[/mm]
Also das verfahren ist, dass man normalerweise so anfängt
Sei [mm] \vaerpsilon [/mm] >0
danach betrachtet man den Betrag:
[mm] \left| \bruch{sin(x_N)}{x_N}-1 \right| <\varepsilon
[/mm]
dann versucht man diesen Betrag irgendwie nach N aufzulösen, sodass man ein N abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] herausbekommt
also löse ich den betrag auf:
- [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{sin(x_N)}{x_N}-1 <\varepsilon
[/mm]
- [mm] \varepsilon [/mm] +1 < [mm] \bruch{sin(x_N)}{x_N} <\varepsilon [/mm] +1
wie kann ich nun nach N auflösen, oder muss ich dass gar nicht??
vielen dank für eure Hilfe
MfG
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 16.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi Christoph! Habe genau die gleiche Frage gestellt ;) Bis Mittwoch in Lina.
LG L.
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