stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 31.05.2005 | | Autor: | nas181 |
wer kann mir helfen,bin ich sehr bedankbar:
es sei A eine nichtleere teilmenge von R.zeigen sie mit hilfe der [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \delta [/mm] charakterisierung die stetigkeit der sogenannten abstendsfunktion
f(x)=inf{betrag:x-a,a [mm] \in [/mm] A} R abblidung in R
danke schön
|
|
| |
|
Hallo!
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Sei [mm] $x\in \IR$. [/mm] Setze [mm] $\delta:=\epsilon$. [/mm] Sei [mm] $y\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|y-x|<\delta$.
[/mm]
1.Fall: [mm] $f(x)\ge [/mm] f(y)$.
Dann gilt
[mm] $f(x)=\inf\{|x-a|:\ a\in A\}\le \inf \{|x-y|+|y-a|:\ a\in A\}=|x-y|+f(y)$.
[/mm]
Damit folgt
[mm] $|f(x)-f(y)|=f(x)-f(y)\le |x-y|<\delta=\epsilon$.
[/mm]
2. Fall: $f(x)< f(y)$.
Dann gilt
[mm] $f(y)=\inf\{|y-a|:\ a\in A\}\le \inf \{|y-x|+|x-a|:\ a\in A\}=|x-y|+f(x)$.
[/mm]
Damit folgt
[mm] $|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)\le |y-x|<\delta=\epsilon$.
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
|
