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| Aufgabe | a)Ist die Fukntion f(x):= [mm] \bruch{x}{1 + |x|} [/mm] gleichmäßig stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] ?
b)f(x):=x³-x-2 ( gleiche frage ) |
Ich finde leider keine Definiton für Stetigkeit in einem Intervall...
Finde nur Stetigkeit in einem Punkt, aber das hilft mir ja nicht.
Habe nur soetwas wie "Die Funktion f : M -> [mm] \IR [/mm] heißt stetig auf M , wenn sie es in jedem x0 [mm] \in [/mm] M ist.
Kann mir bitte jemand helfen?
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> a)Ist die Fukntion f(x):= [mm]\bruch{x}{1 + |x|}[/mm] gleichmäßig
> stetig auf ganz [mm]\IR[/mm] ?
> b)f(x):=x³-x-2 ( gleiche frage )
> Ich finde leider keine Definiton für Stetigkeit in einem
> Intervall...
Hallo,
das Intervall in Deiner Aufgabe ist sehr groß.
> Finde nur Stetigkeit in einem Punkt, aber das hilft mir ja
> nicht.
> Habe nur soetwas wie "Die Funktion f : M -> [mm]\IR[/mm] heißt
> stetig auf M , wenn sie es in jedem x0 [mm]\in[/mm] M ist.
Ja, da hast Du doch die Definition.
Wenn Du für die Menge M Dein Intervall hinschreibst, hast Du die Def. der Stetigkeit in einem Intervall, nämlich: die Funktion ist in jedem Punkt, der zum Intervall gehört, stetig.
Wonach sonst gelüstet Dir? Was suchst Du?
Oder suchst Du die Def. der gleichmäßigen Stetigkeit?
Ich kupfere 1:1 bei der Wikipedia ab:
"Sei D eine Teilmenge aus [mm] \IR, [/mm] kurz [mm] D\subseteq\IR.
[/mm]
Eine Abbildung [mm] f:D\rightarrow \IR [/mm] heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
[mm] \forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] "
Gruß v. Angela
> Kann mir bitte jemand helfen?
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und wie soll ich jetzt nachprüfen ob die funktion in jedem punkt x0 stetig ist? damit ich weiss ob sie es in [mm] \IR [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Di 23.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und wie soll ich jetzt nachprüfen ob die funktion in jedem
> punkt x0 stetig ist? damit ich weiss ob sie es in [mm]\IR[/mm] ist.
die Frage nach der Stetigkeit ist hier sehr leicht zu beantworten, mit gewissen Kenntnissen (Summe, Quotienten, Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig) ist das sehr schnell abgetan. Aber diese Frage wird hier auch nicht gestellt. Hier geht es um gleichmäßige Stetigkeit, das ist ein stärkerer Begriff (wenn Du in die Definitionen guckst, bekommst Du bei Stetigkeit, dass das (zu findende) [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] bei Stetigkeit an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] sowohl von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ als auch von [mm] $x_0$ [/mm] abhhängig sein darf. Bei der glm. Stetigkeit steht nur, dass das (zu findende) [mm] $\delta$ [/mm] von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ abhängig sein darf. Insbesondere ist also jede glm. stetige Funktion stetig (wegen Kontraposition ergibt sich sofort, dass jede nichtstetige Funktion auch nicht glm. stetig sein kann!). Die Umkehrung gilt allerdings nicht.
Schau' unbedingt nochmal in die Definitionen. So, nun gib' Dir mal ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vor. Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ noch zu bestimmen. Betrachte [mm] $f(x):=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Seien $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}\right|=\ldots.$$
[/mm]
Das musst Du nun weiter so nach oben abschätzen, dass Du am Ende, wenn Du [mm] $\delta [/mm] > 0$ geeignet - und nur von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ abhängig - wählst, dann $< [mm] \epsilon$ [/mm] erhältst.
Ein Tipp, der Dir hilft, unnötige Abschätzungen zu ersparen:
Mithilfe der Ableitung und des Mittelwertsatzes kann man abschätzen:
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le |x-y|*S\,,$$
[/mm]
wobei $S > [mm] 0\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $|f\!\,'|$ [/mm] (auf ganz [mm] $\IR$) [/mm] ist. Damit hat man dann eigentlich sogar mehr gezeigt, nämlich, dass [mm] $f\,$ [/mm] sogar Lipschitzstetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Zu [mm] $f(x):=x^3-x-2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$):
[/mm]
Diese Funktion ist nicht glm. stetig. Tipp, wie man das zeigt:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so zeige:
Zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ kann man [mm] $x=x_\delta [/mm] > 0$ und [mm] $y=y_\delta:=x+\frac{\delta}{2}=x_\delta+\frac{\delta}{2}$ [/mm] finden, so dass [mm] $|f(y)-f(x)|=f(y)-f(x)\;\;\big(=f(y_\delta)-f(x_\delta)\big)\; \ge \epsilon$ [/mm] ausfällt.
(Beachte (für $M [mm] \subseteq \IR$):
[/mm]
$f: M [mm] \to \IR$ [/mm] ist genau dann nicht glm. stetig (auf [mm] $M\,$), [/mm] wenn es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ gibt, so dass für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ zwei Zahlen [mm] $x=x_\delta,\,y=y_\delta \in [/mm] M$ existieren, so dass zwar $|x-y| < [mm] \delta$, [/mm] aber zudem $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \epsilon_0\,.$ [/mm] Bei dem obigen Tipp brauchst Du das also gar nicht so allgemein, wie von mir vorgeschlagen, zu machen (es ist also eigentlich mehr als nötig, zu zeigen, dass Du zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ zwei Zahlen [mm] $x,\,y$ [/mm] findest mit... (siehe oben)); sondern es reicht, wenn Du ein (i.a. genügend kleines) solches [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ angibst. Oben klappt das z.B. insbesondere auch mit [mm] $\epsilon_0:=1$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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