stetige funktion < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 05.10.2010 | | Autor: | physicus |
hallo!
kleine Frage:
Wenn ich eine Funktion habe und gezeigt habe, dass diese Funktion auf einer Umgebung jedes Punktes meiner Menge stetig ist, ist die Funktion dann auf der ganzen Menge stetig?
Formaler:
[mm]f|_{V_x} [/mm]stetig wobei $\ [mm] V_x [/mm] $ eine offene Umgebung von x ist. (dies gilt für alle $\ x $ in meiner Grundmenge $\ X$).D.h. ich kann für jeden Punkt meiner Menge $\ X$ eine offene Umgebung finden, wo mein $\ f$ stetig ist. Ist dann mein f auf $\ X$ stetig. Danke für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Di 05.10.2010 | | Autor: | LadyA |
Ich glaube, dass es nicht reichen würde, denn du hättest die Stetigkeit nur für einen besonderen Punkt gezeigt! Aber für die Stetigkeit der ganzen Funktion müsstest du es für alle Punkte aus f zeigen, was meistens unmöglich ist:D Deswegen schätze deine Funktion lieber mit einer stetigen Funktion ab!
PS.Bin mir aber nicht ganz sicher ob das so stimmt, wäre cool wenn noch eine Antwort kommen würde, von jemandem der sich sicher ist:D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:18 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube, dass es nicht reichen würde
es reicht !
> , denn du hättest
> die Stetigkeit nur für einen besonderen Punkt gezeigt!
Nein, lies nochmal nach was vorausgesetzt ist
> Aber für die Stetigkeit der ganzen Funktion müsstest du
> es für alle Punkte aus f zeigen, was meistens unmöglich
> ist:
Na, na, nun übertreibst Du aber
> D Deswegen schätze deine Funktion lieber mit einer
> stetigen Funktion ab!
Was soll den das bedeuten ??
Ist g unstetig und h stetig und gilt |g| [mm] \le [/mm] h, was folgt dann ? Antwort: nix !
>
> PS.Bin mir aber nicht ganz sicher ob das so stimmt,
siehe oben
FRED
> wäre
> cool wenn noch eine Antwort kommen würde, von jemandem der
> sich sicher ist:D
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 05.10.2010 | | Autor: | LadyA |
Nochwas hab grad gesehen, dass es um Topologie geht, dort definiert man Stetigkeit so:
Seien (X;OX) ; (Y;OY ) zwei topologische Räume und
f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. f heißt stetig, wenn für alle offenen O aus OY auch das Urbild f^-1 O offen in X ist.
Also diese Definition haben wir immer benutzt und wenn X und Y darüberhinaus metrische Räume sind, benutzt man lieber das Epsilon-Delta-Kriterium.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo!
>
> kleine Frage:
>
> Wenn ich eine Funktion habe und gezeigt habe, dass diese
> Funktion auf einer Umgebung jedes Punktes meiner Menge
> stetig ist, ist die Funktion dann auf der ganzen Menge
> stetig?
> Formaler:
>
> [mm]f|_{V_x} [/mm]stetig wobei [mm]\ V_x[/mm] eine offene Umgebung von x ist.
> (dies gilt für alle [mm]\ x[/mm] in meiner Grundmenge [mm]\ X[/mm]).D.h. ich
> kann für jeden Punkt meiner Menge [mm]\ X[/mm] eine offene Umgebung
> finden, wo mein [mm]\ f[/mm] stetig ist. Ist dann mein f auf [mm]\ X[/mm]
> stetig. Danke für die Antwort!
Ja, f ist stetig auf X.
Beweis: X,Y seien topologische Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abb. mit :
zu jedem x [mm] \in [/mm] X gibt es eine offene Umgebung [mm] V_x [/mm] von x mit : $ [mm] f|_{V_x} [/mm] $ ist stetig auf [mm] V_x.
[/mm]
Für x [mm] \in [/mm] X sei [mm] f_x:= f|_{V_x} [/mm] , also
[mm] $f_x:V_x \to [/mm] Y$
Nun sei G offen in Y. Da jedes [mm] f_x [/mm] stetig ist, ist
[mm] D_x:= f_x^{-1}(G) [/mm] offen in [mm] V_x
[/mm]
Da [mm] V_x [/mm] offen in X ist, ist auch [mm] D_x [/mm] offen in X
Zu zeigen ist: D:= [mm] f^{-1}(G) [/mm] ist offen in X. Das folgt nun aber aus
$D= [mm] \bigcup_{x \in D}^{}D_x$
[/mm]
FRED
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