stetige Fortsetzung, Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei g : [mm] \IR^2 [/mm] \ { [mm] \vektor{0 \\ 0}} \to \IR [/mm] definiert durch [mm] \vektor{x \\ y} \to [/mm] g (x, y) := [mm] \bruch{xy^2}{x^2 + y^2}
[/mm]
gegeben.
Es soll nun gezeigt werden, dass g in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] einen Grenzwert besitzt. |
Hallo,
ich habe einige Probleme bei diesem Beispiel aus meinem Skript. In meinem Skript wird für diese Funktion g gezeigt, dass sie in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] einen Grenzwert besitzt. Und zwar, indem gezeigt wird (wenn ich das so richtig verstanden habe), dass g eine stetige Fortsetzung in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] hat.
Es wird also die Funktion G(x,y) := g(x,y) für [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2 [/mm] \ [mm] {\vektor{0 \\ 0} } [/mm] und G(x,y) := 0 für [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] auf Stetigkeit in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] überprüft. Und zwar geschieht dies mithilfe des epsilon-delta-Kriterium für Stetigkeit wie im folgenden beschrieben:
Es ist nämlich
|g(x,y)| = [mm] \bruch{ |x|y^2}{x^2 + y^2} \le \bruch{|x|(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} [/mm] = |x| für jedes [mm] \vektor{x\\y} \not= \vektor{0\\0}. [/mm] Ist nun epsilon > 0 beliebig vorgegeben, so gilt für delta := epsilon
[mm] d_\infty(G(x,y), [/mm] 0) = |G(x,y) - 0| = |G(x,y)| [mm] \le [/mm] |x| [mm] \le ||\vektor{x\\y}||_\infty [/mm] für [mm] \vektor{x\\y} \not= \vektor{0\\0} [/mm] bzw. 0 für [mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm]
also
[mm] d_\infty(G(x,y), [/mm] 0) < epsilon für jedes [mm] \vektor{x\\y} \in \IR^2 [/mm] mit [mm] ||\vektor{x\\y}||_\infty [/mm] < delta(=epsilon).
Nach dem epsilon-delta-Kriterium ist nun G in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] stetig. Folglich existiert der Grenzwert von g in [mm] \vektor{0\\0}.
[/mm]
So wurde im Skript gezeigt, dass g in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] einen Grenzwert besitzt. Ich komme allerdings mit dieser Erklärung nicht weiter. Vor allem verstehe ich nicht, wo die Betragstriche auf einmal herkommen bzw. was sie bezwecken sollen. Vielleicht kann mir jemand in Worten einmal ein paar Erläuterungen zu dem Ganzen geben . Das würde mir schon sehr weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schlumpfinchen!
Zu den Betragsstrichen ... es gilt:
[mm] $$\red{\left|} [/mm] \ g(x,y) \ [mm] \red{\right|} [/mm] \ = \ [mm] \red{\left|}\bruch{x*y^2}{x^2+y^2}\red{\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{\left|}x\red{\right|}*\red{\left|}y^2\red{\right|}}{\red{\left|}x^2+y^2\red{\right|}}$$
[/mm]
[mm] $y^2$ [/mm] sowie [mm] $x^2+y^2$ [/mm] sind jedoch nie negativ, so dass man für diese Terme die Betragsstriche weglassen kann. Es verbleibt:
[mm] $$\left| \ g(x,y) \ \right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{\red{\left|}x\red{\right|}*y^2}{x^2+y^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo loddar,
vielen Dank für die Antwort. Aber das was du mir erklärt hast (warum die Ungleichungen bzw. Gleichungen am Anfang gelten), dass habe ich schon verstanden gehabt. Was ich nicht verstehe ist, warum schreibt man die Betragstriche überhaupt hin. Es soll ja die Stetigkeit mit dem delta-epsilon kriterim gezeigt werden. Und bei diesem Kriterium tauchen nirgendwo Betragstriche auf!
Gruß, schlumpfinchen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schlumpfinchen!
> Es soll ja die Stetigkeit mit dem delta-epsilon kriterim gezeigt werden.
> Und bei diesem Kriterium tauchen nirgendwo Betragstriche auf!
Dann schreibe uns mal die Definition des Kriteriums hier auf ...
Gruß
Loddar
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Seien [mm] (x,d_x) [/mm] und [mm] (Y,d_Y) [/mm] metrische Räume und f: M [mm] \to [/mm] Y mit M [mm] \subset \IR^n
[/mm]
f ist stetig in a [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] < 0 [mm] \exists \delta [/mm] < 0 [mm] \forall x\in [/mm] M : ( [mm] d_X(x,a) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d_Y(f(x), [/mm] f(a)) < [mm] \varepsilon)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schlumpfinchen!
Und wie ist $d(x,y)_$ definiert?
Gruß
Loddar
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Hallo.,
also es gilt ja
d(x, y) := ||x -y||.
Aber irgendwie sehe ich trotzdem noch nicht den Zusammenhang zwischen den Betragstrichen und ||x -y||??
Ich habe zwar etwas darüber gefunden, dass [mm] ||x||_2 [/mm] dem Betrag von x entspricht. Aber dabei handelt es sich ja um die euklidische Norm. Und hier in meinem Beispiel ist ja die ganze Zeit von der Maximumnorm die Rede??
Steh irgendwie aufm Schlauch!
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> Hallo.,
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> also es gilt ja
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> d(x, y) := Hallo.,
>
> also es gilt ja
>
> d(x, y) := ||x -y||.
>
> Aber irgendwie sehe ich trotzdem noch nicht den
> Zusammenhang zwischen den Betragstrichen und ||x -y||??
>
> Ich habe zwar etwas darüber gefunden, dass [mm]||x||_2[/mm] dem
> Betrag von x entspricht. Aber dabei handelt es sich ja um
> die euklidische Norm. Und hier in meinem Beispiel ist ja
> die ganze Zeit von der Maximumnorm die Rede??
>
> Steh irgendwie aufm Schlauch!
>
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich mit meiner Antwort Deine Frage treffe.
Die Vektornorm [mm] \parallel*\parallel_{\infty} [/mm] ordnet doch lt. Definition jedem Vektor seinen betragsgrößten Eintrag zu.
Z.B. ist [mm] \left\|\vektor{-1\\2\\-3\\4\\-5}\right\|_{\infty}=\max\{|-1|,|2|,|-3|,|4|,|-5|\}= [/mm] 5, und aus diesem Grund ist natürlich
[mm] |-1|\le\left\|\vektor{-1\\2\\-3\\4\\-5}\right\|_{\infty},
[/mm]
[mm] |2|\le\left\|\vektor{-1\\2\\-3\\4\\-5}\right\|_{\infty}, [/mm] usw.
Gruß v. Angela
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Seien [mm] (x,d_x) [/mm] und [mm] (Y,d_Y) [/mm] metrische Räume und f: M [mm] \to [/mm] Y mit M [mm] \subset \IR^n
[/mm]
f ist stetig in a [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] < 0 [mm] \exists \delta [/mm] < 0 [mm] \forall x\in [/mm] M : ( [mm] d_X(x,a) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d_Y(f(x), [/mm] f(a)) < [mm] \varepsilon)
[/mm]
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