stetig ergänzbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Funktion
[mm] f:\IR²\backslash\{(0,0)\}\to\IR:f(x,y):=\bruch{(x+y)²}{x²+y²}
[/mm]
im Nullpunkt stetig ergänzt werden kann. |
Im Nullpunkt wäre im Nenner ja einfach 0²+0²=0, was nicht definiert wäre. Könnte man mit einer Ergänzung wie "0, falls x=0 und y=0" die Funktion im Nullpunkt schon stetig machen? Da denk ich wohl wieder irgendwie zu einfach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Schau dir die Funktion in Polarkoordinaten an, du erhälst [mm] $$f(r,\varphi)=\frac{(r\cos\varphi + r\sin\varphi)^2}{r^2}=1+\sin 2\varphi$$ [/mm] Die lässt sich offenbar nicht stetig in 0 fortsetzen, denn du kannst entsprechende Folgen basteln...
Gruß, Robert
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Das musst du mir nochmal näher erklären. Sollte ich sowas immer in Polarkoordinaten betrachen? Und was könnte man da basteln?
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Betrachte dir mal Folgen mit [mm]\varphi = 2k\pi[/mm] und dann mit [mm]\varphi = \bruch{\pi}{2} + 2k\pi[/mm].
Was fällt dir auf?
> Sollte ich sowas
> immer in Polarkoordinaten betrachen?
Kommt auf die Aufgabe an 
Auch hier gehts ohne.
Schau dir mal Folgen mit [mm] y_k [/mm] = 0 an und im Gegenzug Folgen für die gilt [mm] x_k=y_k.
[/mm]
Was fällt dir da auf?
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> Betrachte dir mal Folgen mit [mm]\varphi = 2k\pi[/mm] und dann mit
> [mm]\varphi = \bruch{\pi}{2} + 2k\pi[/mm].
> Was fällt dir auf?
Bei [mm] \varphi [/mm] = [mm] 2k\pi [/mm] wäre es ja dann 1 + sin 2 [mm] (2k\pi), [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe. Aber das wäre doch einfach 1.
>
> > Sollte ich sowas
> > immer in Polarkoordinaten betrachen?
>
> Kommt auf die Aufgabe an
> Auch hier gehts ohne.
>
> Schau dir mal Folgen mit [mm]y_k[/mm] = 0 an und im Gegenzug Folgen
> für die gilt [mm]x_k=y_k.[/mm]
> Was fällt dir da auf?
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Wenn y=0 wäre, dann wäre das Ergebnis doch immer 1, weil sich x² und x² wegkürzen. Und bei x=y immer 2, oder?
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> Aber das wäre doch
> einfach 1.
Korrekt, das liegt ja damals, dass [mm]sin2\varphi[/mm] bei dieser Konstruktion immer 0 ist.
Ebenso kannst du dir eine Folge konstruieren, so dass [mm]sin2\varphi[/mm] immer 1 ist.
> Wenn y=0 wäre, dann wäre das Ergebnis doch immer 1, weil
> sich x² und x² wegkürzen. Und bei x=y immer 2, oder?
Korrekt, und was sagt dir das über die Stetigkeit?
Was muss denn bei Folgenstetigkeit gelten?
MFG,
Gono
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f ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig, wenn für jede Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] : [mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm] gilt.
Es muss also derselbe Grenzwert rauskommen, egal was man für eine Funktion einsetzt. Da man aber einmal 1 und einmel 2 erhält, ist damit gezeigt, dass es nicht stetig ist. Und damit auch, dass es nicht stetig ergänzbar ist?
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> Es muss also derselbe Grenzwert rauskommen, egal was man
> für eine [mm] \red{Folge} [/mm] einsetzt. Da man aber einmal 1 und einmel
> 2 erhält, ist damit gezeigt, dass es nicht stetig ist. Und
> damit auch, dass es nicht stetig ergänzbar ist?
Korrekt, denn egal was man einsetzt, man findet immer eine Folge, wo der Grenzwert verschieden vom Funktionswert ist.
MfG,
Gono.
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