stetig diffbare Abbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] F:U_1\times U_2\rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] mit [mm] U_1\subset \mathbb{R}^k,U_2\subset \mathbb{R}^m [/mm] offen.
Sei F stetig diffbar und [mm] (a,b)\in U_1\times U_2 [/mm] mit
(1) F(a,b)=0,
[mm] (2)\frac{\partial F}{\partial y}(a,b) [/mm] invertierbar.
[mm] D:=\frac{\partial F}{\partial y}(0,0).
[/mm]
Behauptung: Die Abbildung [mm] G(x,y)=y-D^{-1}F(x,y) [/mm] ist stetig diffbar in U und es gilt [mm] F(x,y)=0\Leftrightarrow [/mm] G(x,y)=y. |
Hallo,
zum ersten Teil.
Ich habe gebildet:
[mm] \frac{\partial G}{\partial y}(x,y)=E_m-D^{-1}\frac{\partial F}{\partial y}(x,y).
[/mm]
Also G diffbar. Dann noch zu zeigen DG(x,y) stetig.
Ich dachte erst, dass [mm] D^{-1} [/mm] und [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] sich doch aufheben, also gleich [mm] E_m [/mm] sind und ich damit eine konstante Funktion habe, die stetig ist. Ist das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach Vor. ist doch F stetig diffbar. Dann ist es doch eine Trivialität, dass
$ [mm] G(x,y)=y-D^{-1}F(x,y) [/mm] $
stetig diffbar ist !
Sei F(x,y) = 0. Dann ist klar, dass G(x,y)=y
Ist umgekehrt G(x,y)=y, so ist [mm] D^{-1}F(x,y) [/mm] = 0, also folgt: F(x,y) = [mm] DD^{-1}F(x,y) [/mm] = 0
FRED
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