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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mi 05.12.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute ich hab mal eine kleine verständisfrage und zwar:
wenn ich eine Funktion F(x) und deren zugehörige ableitung f(x):=F'(x) betrachte, dann haben die doch folgenden geometrischen zusammenhang:
F(x) gibt genau die fläche an, die die funktion f mit der x-achse einschließt, und das von 0 bis x, ist das soweit richtig so? (macht man ja auch ca so, wenn man den wert eines integrals berechnet)
wenn ja verstehe ich dann folgendes nicht:
wenn man zb hat F(x)=x, dann ist die ableitung F'(x)=f(x)=1, d.h F(3)=3 ist der flächeninhalt der fläche, den f(x) für [mm] 0\le x\le [/mm] 3 mit der x-achse einschließt.
wenn ich jetzt aber F(x)=x+2 betrachte, dann ist die ableitung wieder F'(x)=f(x)=1 und ich bekomme hier für F(3)=5 und das soll wieder der flächeninhalt der selben fläche wie oben sein.
weiß einer von euch wo das problem liegt? gilt der zusammenhang zwischen F(x) und f(x) nur, wenn bei F(x) der konstante dazuaddierte faktor 0 ist ??? wenn ja, was macht man in dem fall, wo der ungleich 0 ist?
hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir etwas weiterhelfen..
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 05.12.2007 | | Autor: | zetamy |
Hallo AriR,
> wenn ich eine Funktion F(x) und deren zugehörige ableitung
> f(x):=F'(x) betrachte, dann haben die doch folgenden
> geometrischen zusammenhang:
>
> F(x) gibt genau die fläche an, die die funktion f mit der
> x-achse einschließt, und das von 0 bis x, ist das soweit
> richtig so? (macht man ja auch ca so, wenn man den wert
> eines integrals berechnet)
Teilweise richtig. Du solltest lieber von der Gegenseite argumentieren. Wenn du eine Funktion f(x) integrierst, erhälst du eine Stammfunktion
[mm] F(x):= \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm]
Hat das Integral nun zwei Grenzen, dann ist die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse gleich
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= F(b)-F(a)[/mm] .
> wenn ja verstehe ich dann folgendes nicht:
> wenn man zb hat F(x)=x, dann ist die ableitung
> F'(x)=f(x)=1, d.h F(3)=3 ist der flächeninhalt der fläche,
> den f(x) für [mm]0\le x\le[/mm] 3 mit der x-achse einschließt.
Wie oben gezeigt, musst du schreiben: Fläche von f zwischen 0 und 3 ist gleich [mm] \integral_{0}^{3}{1 dx} = F(3) - F(0) = 3 - 0 = 3[/mm]
deutlicher wirds im nächsten Beispiel.
> wenn ich jetzt aber F(x)=x+2 betrachte, dann ist die
> ableitung wieder F'(x)=f(x)=1 und ich bekomme hier für
> F(3)=5 und das soll wieder der flächeninhalt der selben
> fläche wie oben sein.
Auch hier wieder [mm] \integral_{0}^{3}{1 dx}= F(3) - F(0) = (3+2) - (0+2) = 3+2-1=3[/mm]
Zur Funktion f(x)=1 gibt es also unendlich viele Stammfunktion der Form F(x)=x+c, wobei c eine Konstante ist.
Gruß zetamy
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