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| Aufgabe | Sei (V,<.,.>) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Zeigen sie für Unterräume U,W [mm] \subseteq [/mm] V
(U + [mm] W)^\perp^ [/mm] = [mm] U^\perp \cap W^\perp,
[/mm]
[mm] U^\perp [/mm] + [mm] W^\perp [/mm] = (U [mm] \cap W)^\perp [/mm] |
Hallo,
Also damit kenn ich mich überhaupt nicht aus,diese Aufgabe bekamen wir als wir mit dem Thema Skalarprodukte begonnen haben,welches ich irgendwie gar nicht verstanden habe.
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Gruß
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \perp [/mm] steht für "steht senkrecht auf...", das kennste ja aus der Schule von z.B. Geraden, wo dann g [mm] \perp [/mm] h bedeutet, dass die Gerade g senkrecht auf der Gerade h steht.
In euklidischen Vektorräumen definiert man das mit Hilfe des Skalarproduktes, indem man einfach sagt, dass die Vektoren v und w genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn <v,w> = 0.
Wenn hinter einem Vektor bzw. einer Menge das Zeichen [mm] \perp [/mm] steht, dann meint man damit die Menge aller Vektoren, die auf diesem Vektor/dieser Menge senkrecht stehen.
[mm] U^{\perp} [/mm] := {v [mm] \in [/mm] V | <v,u> = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U}. Man kann zeigen, dass dies ein Untervektorraum ist.
Nun zu deiner Aufgabe: du musst einfach zeigen, dass die Mengen gleich sind (hierbei bedeutet das "+" die Untervektorraumsumme - das müsstet ihr schon gehabt haben in der Vorlesung). Vergiss nicht, dass man die Gleichheit von zwei Mengen durch die Extensionalität zeigt, also: A = B [mm] :\gdw [/mm] A [mm] \subset [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subset [/mm] A.
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