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| Aufgabe | Sei q=||.|| eine Norm auf einem komplexen Vektorraum V,die die Parallelogrammgleichung [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V:q(v+w)+q(v-w)=2*q(v)+2*q(w) erfüllt,aber nicht unbedingt von einem Skalarprodukt kommt.Setze [mm] \mu(v,w):= (||v+w||^2 [/mm] - [mm] ||v-w||^2+i*||v+i+w||^2-i*||v-i*w||^2)/4.
[/mm]
Zeigen sie:
[mm] 1)\forall [/mm] v,w [mm] \in V:\mu(v,w)=\overline{\mu(w,v)}.
[/mm]
[mm] 2)\forall [/mm] v,w [mm] \in V:\mu(u+v,w)=\mu(u,w)+\mu(v,w)
[/mm]
[mm] 3)\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V,n [mm] \in \IN:\mu(n*v,w)=n*\mu(v,w)
[/mm]
[mm] 4)\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V,n [mm] \in \IZ:\mu(n*v,w)=n*\mu(v,w)
[/mm]
[mm] 5)\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V,r [mm] \in \IQ:\mu(r*v,w)=r*\mu(v,w)
[/mm]
[mm] 6)\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V,x [mm] \in \IR :\mu(x*v,w)=x*\mu(v,w)
[/mm]
[mm] 7)\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V,z [mm] \in \IC :\mu(z*v,w)=z*\mu(v,w)
[/mm]
[mm] h)\mu [/mm] ist ein Skalarprodukt. |
Hallo Forum,
Ich habe große Schwierigkeiten mit Beweisaufgaben,es wär toll wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank.
Mfg Martin
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> Sei q=||.|| eine Norm auf einem komplexen Vektorraum V,die
> die Parallelogrammgleichung [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm]
> V:q(v+w)+q(v-w)=2*q(v)+2*q(w) erfüllt,aber nicht unbedingt
> von einem Skalarprodukt kommt.Setze [mm]\mu(v,w):= (||v+w||^2[/mm] -
> [mm]||v-w||^2+i*||v+i+w||^2-i*||v-i*w||^2)/4.[/mm]
> Zeigen sie:
> [mm]1)\forall[/mm] v,w [mm]\in V:\mu(v,w)=\overline{\mu(w,v)}.[/mm]
> Ich habe große Schwierigkeiten mit Beweisaufgaben,es wär
> toll wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Hallo,
am besten fängst Du erstmal an, "Schwierigkeiten mit Beweisaufgaben" ist ja recht vage.
Für Aufgabe 1) rechne doch mal beide Seiten der Gleichung aus und schau, ob sie gleich sind.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Danke, dass du(sie) mir hilfst(helfen).Meinst du:
[mm] (||v+w||^2-||v-w||^2+i*||v+i*w||^2-i*||v-i*w||^2)/4=das [/mm] gleiche nur überall ein Strich drüber.Ich habe versucht es aufzulösen aber außer,der binomischen Formel,erkenne ich keine Umformungsmöglichkeit.
Besten Gruß Martin
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> Meinst du:
> [mm](||v+w||^2-||v-w||^2+i*||v+i*w||^2-i*||v-i*w||^2)/4=das[/mm]
> gleiche nur überall ein Strich drüber.Ich habe versucht es
> aufzulösen aber außer,der binomischen Formel,erkenne ich
> keine Umformungsmöglichkeit.
Hallo,
es steht auf der anderen Seite nicht dasselbe mit einem Strich. Immerhin sind ja auch die Faktoren vertauscht.
ich bin mir ziemlich sicher, daß der Zusatz mit der Parallelogrammgleichung in der Aufgabe steht, weil man das verwenden soll.
In [mm] ||v+w||^2-||v-w||^2+i*||v+i*w||^2-i*||v-i*w||^2 [/mm] hast Du für die ersten beiden und die letzten beiden Summanden die 3.binomische Formel, vielleich ist das nützlich.
Und "ein Strich drüber" kannst Du doch auch verarbeiten: die komplexe Konjugation.
Fang doch mal an, ohne was zu sehen, kann man so schlecht helfen - und allein rechnen (und schreiben!) möchte ich nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Ich habe es versucht umzuformen. [mm] \mu(v,w)=(...)/4=(v+w,v+w)-(v-w,v-w)+i*(v+i*w,v+i*w)-i*(v-iw,v-i*w))/4
[/mm]
=((v,v)+ 2*(v,w)+(w,w)-((v,v)-2*(v,w)+(w,w))+ i*((v,v)+2*(v,i*w)+(i*w,i*w))-i((v,v)-2*(v,i*w)+( i*w,i*w))/4=(2*(w,w)+2*i(i*w,i*w))/4=(||w||+ i*||i*w||)/2
Ich hoffe dass ich mich nicht verrechnet habe.Ist das soweit schonmal richtig?
Besten dank Martin
Ich verstehe nicht warum der Editor das nicht wieder gibt,wie in der 1.Zeile.
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Hallo,
ich verstehe leider nicht recht, was Du tust, bzw. ich sehe einen Fehler: in der Aufgabe steht ausdrücklich, daß die Norm nicht unbedingt von einem Skalarprodukt kommt, Du verwendest aber irgendwie, daß [mm] \parallelx\parallel=(x,x) [/mm] - was auch immer Du mit den runden Klammern meinen magst...
Nochmal zur Aufgabe: Du hast eine Norm [mm] \parallel.\parallel [/mm] gegeben, für welche die Paralellogrammgleichung gilt.
Mithilfe dieser Norm ist eine Abbildung [mm] \mu [/mm] definiert, für die Du gewisse Eigenschaften nachweisen sollst.
(Es ist unbedingt notwendig, daß Du die Eigenschaften einer Norm kennst.)
Die erste der zu zeigenden Eigenschaften ist: $ [mm] 1)\forall [/mm] $ v,w $ [mm] \in V:\mu(v,w)=\overline{\mu(w,v)}. [/mm] $
Ich hatte ja schon gesagt, daß der Strich das Konjugiert-Komplexe bedeutet.
Versuche nun am besten [mm] \overline{\mu(w,v)} [/mm] so umzuformen, daß Du schließlich [mm] \mu(v,w) [/mm] dastehen hast.
Es ist
[mm] \overline{\mu(w,v)}
[/mm]
[mm] =\overline{ (||w+v||^2 - ||w-v||^2+i\cdot{}||w+iv||^2-i\cdot{}|w-i\cdot{}v||^2)/4 }
[/mm]
[mm] =\overline{ (||w+v||^2 - ||-(-w+v)||^2+i\cdot{}||i(-iw+v)||^2-i\cdot{}|-i(iw+v)||^2)/4 }
[/mm]
=... Eigenschaften der Norm verwenden, konjugiert-Komplexes bilden
...
=$ [mm] (||v+w||^2 [/mm] $ - $ [mm] ||v-w||^2+i\cdot{}||v+i+w||^2-i\cdot{}||v-i\cdot{}w||^2)/4. [/mm] $= [mm] \mu(v,w).
[/mm]
(Die Parallelogrammgleichung scheinst Du erst später zu brauchen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Sorry aber ich komm nicht drauf.
Die Norm besagt ja dass [mm] ||x||=\wurzel{} [/mm] gilt aber hier hat man dann ja wieder ein Skalar oder soll ich die 3 Eigenschaften ||x||=0,x=0 [mm] ||\lambda*x||=|\lambda|*||x||, [/mm] und Dreiecksungleichung ausnutzen?Meinst du mit dem konjugiert-komplexen,dass ich w=a+ib setzen soll?
Besten Gruß Martin
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> Hallo,
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> Sorry aber ich komm nicht drauf.
> Die Norm besagt ja dass [mm]||x||=\wurzel{}[/mm] gilt
Hallo,
nein, das ist nur bei der von einem Skalarprodukt induzierten Norm der Fall, wovon in Deiner Aufgabe ausdrücklich nicht ausgegangen werden soll.
> [mm] |\lambda*x||=|\lambda|*||x||,
[/mm]
Diese Eigenschaft soielt hier eine große Rolle.
> Meinst du mit dem
> konjugiert-komplexen,dass ich w=a+ib setzen soll?
Nein. Du erhältst ja für [mm] \mu(w,v) [/mm] eine komplexe Zahl, und deren Konjugiert-Komplexes sollst Du bilden.
Beispiel: [mm] \overline{5+7i}=5-7i
[/mm]
Gruß v. Angela
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