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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - sinus, kosinus MOIVRE

sinus, kosinus MOIVRE < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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sinus, kosinus MOIVRE: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	04:11 Mo 04.02.2013
Autor:	arti8

Aufgabe

 Wenden sie den Satz von MOIVRE an!

z = [3(cos40°+i*sin40°)] * [4(cos80°+i*sin80°)]

Lösung soll [mm] -6+6\wurzel{3}i [/mm] sein

Hallo,

habe folgendes Problem: ich habe es geschafft die -6 zu lösen doch der rest stimmt nicht überein.

Das ist meine ausmultiplizierte Rechnung.
12*cos40°*cos80° + 12*cos40°*sin80°*i + 12*sin40°*cos80*i - 12*sin40°*cos80°

Diese beiden Terme ergeben
12*cos40°*cos80°- 12*sin40°*sin80° = -6

doch wie fasse ich den restlichen Teil zusammen ?

Habs mit Kosinusaddition versucht wo ich dann -6*i raus habe. also [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] aber irgenswas mache ich dabei immer falsch.
Da es keine Angabe einer Potenz hat bzw [mm] z^1 [/mm] ist hier ja die Normale Form anzuwenden.

Mein letztes Ergebniss war somit:
z= 6*[cos(225°)+i*sin(225°)]

Nebenbei bemerkt ich setze für i=3 ein, einfach zum testen ob mein Ergebniss mit dem der Musterlösung übereinstimmt. Was hier leider diesmal nicht stimmt.

Bezug

sinus, kosinus MOIVRE: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	05:22 Mo 04.02.2013
Autor:	Al-Chwarizmi

> Wenden sie den Satz von MOIVRE an!
>
> z = [3(cos40°+i*sin40°)] * [4(cos80°+i*sin80°)]
>
> Lösung soll [mm]-6+6\wurzel{3}i[/mm] sein
>  Hallo,
>
> habe folgendes Problem: ich habe es geschafft die -6 zu
> lösen doch der rest stimmt nicht überein.
>
> Das ist meine ausmultiplizierte Rechnung.
>  12*cos40°*cos80° + 12*cos40°*sin80°*i +
> 12*sin40°*cos80*i - 12*sin40°*cos80°

da hast du (im letzten Teilterm) eine Funktion
verwechselt

> Diese beiden Terme ergeben
>  12*cos40°*cos80°- 12*sin40°*sin80° = -6

(aha, doch wieder korrigiert ...)


> doch wie fasse ich den restlichen Teil zusammen ?

das passende Stichwort (auch für den reellen Teil)
wäre:  Additionstheoreme !

> Habs mit Kosinusaddition versucht wo ich dann -6*i raus
> habe. also [mm]cos(\alpha+\beta)[/mm] aber irgenswas mache ich dabei
> immer falsch.
>  Da es keine Angabe einer Potenz hat bzw [mm]z^1[/mm] ist hier ja
> die Normale Form anzuwenden.
>
> Mein letztes Ergebniss war somit:
> z= 6*[cos(225°)+i*sin(225°)]
>
> Nebenbei bemerkt ich setze für i=3 ein, einfach zum testen
> ob mein Ergebniss mit dem der Musterlösung übereinstimmt.
> Was hier leider diesmal nicht stimmt.

Naja, i=3 stimmt eigentlich kaum jemals, falls es
sich bei i um die imaginäre Einheit handeln soll ...   ;-)

Hallo arti8,

natürlich könnte man die Aufgabe auch durch Ausmulti-
plizieren und trigonometrische Umformungen lösen.

Offenbar hast du aber den Lösungshinweis "Moivre"
gar nicht verstanden. Allerdings braucht man hier
nicht mal wirklich den

Satz von Moivre , sondern
nur die Multiplikation von komplexen Zahlen in
Polardarstellung:
Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man
ihre Beträge multipliziert und ihre Polarwinkel addiert.

LG ,   Al-Chw.