sinh x - Herleitung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
im Heuser gibts eine Aufgabe, deren Lösung mir nicht klar ist.
Man soll zeigen, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] = sinh x
ist.
Die Lösung aus dem Buch:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k-(-x)^k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{e^x-e^{-x}}{2} [/mm] = sinh x
Ich verstehe leider schon den ersten Umformungsschirtt nicht. Mein Versuch das in kleineren Teilschritten umzuformen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}*x}{(2k)! (2k+1)}
[/mm]
Und nun? Die Konvergenz von sinh würde man ja in etwa so zeigen:
Konvergenzradius r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}| [/mm] (falls existiert)
mit [mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{(2k+1)!}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Di 08.01.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Die Lösung aus dem Buch:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k-(-x)^k}{k!}[/mm] = [mm]\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/mm] = sinh x
>
> Ich verstehe leider schon den ersten Umformungsschirtt
> nicht.
Moin,
in der Summe links wird ueber alle ungeraden natuerlichen Zahlen summiert: 1,3,5,...
In der Summe rechts wird ueber *alle* natuerlichen Zahlen summiert, wobei die
Konstruktion [mm] $x^k-(-x)^k$ [/mm] bewirkt, dass sich alle Summanden mit geradem $k$
wegheben. Alle Summanden mit ungeradem $k$ erscheinen zweimal, was den
Faktor 1/2 vor der Summe erklaert.
vg Luis
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Und wie sieht das mit dem zeigen der Konvergenz aus?
So wie ich den ![[]](/images/popup.gif) Artikel bei Wikipedia zu Potenzreihen verstehe muss ich zunächst den Konvergenzradius ermitteln.
Mein [mm] a_k [/mm] ist ja in dem Fall [mm] \frac{1}{(2k+1)!} [/mm] oder?
Habs mal durchgerechnet...
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{(2k+1)!}
[/mm]
Nun bestimme ich den Konvergenzradius:
| [mm] \frac{a_k}{a_{k+1}}| [/mm] = [mm] \frac{((2k+1)!)^{-1}}{((2k+3)!)^{-1}} [/mm] = [mm] \frac{((2k+3)!)}{((2k+1)!)} [/mm] = [mm] \frac{(2k)! (2k+1)(2k+2)(2k+3)}{(2k)!(2k+1)(2k+2)} [/mm] = 2k+3 [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \rightArrow [/mm] Die Reihe ist auf ganz C konvergent.
Stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
ich unterstelle, du kennst die Darstellung [mm] $e^x=\sum{x^k}/k!$. [/mm] Da sowohl
[mm] $e^x=\sum{x^k}/k!$ [/mm] als auch [mm] $e^{-x}=\sum{(-x)^k}/k!$ [/mm] existieren,
existiert auch Ihre Summe, die du dann als [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k-(-x)^k}{k!}$ [/mm]
schreiben kannst. (Stichwort: Summation von Reihen)
vg Luis
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Meine Lösung (siehe meine editierte Frage) stimmt so nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
das Thema "Konvergenzradius" hatten wir hier schon oft. Benutz mal die Suchfunktion im Forum.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Hinweis: Habe meinen Beitrag nochmals bearbeitet und einen Lösungsvorschlag gebracht. Stimmt meine Lösung?
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Noch eine Frage... du schreibst: "in der Summe links wird ueber alle ungeraden natuerlichen Zahlen summiert: 1,3,5,... "
Du hast wohl die Summe: sinh(x) - also $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $ gemeint. Richtig?
Ich habe mal die ersten paar Summanden der Summe ausgerechnet. Habe sie also nicht bis unendlich sondern nur bis 5 gehen lassen... ich komme da auf die Summe von:
x + [mm] \frac{x^3}{6} [/mm] + [mm] \frac{x^5}{120} [/mm] + [mm] \frac{x^7}{5040} [/mm] + [mm] \frac{x^9}{362880}
[/mm]
Das sieht für mich nach vielem aus - aber nicht nach ungeraden zahlen? Wie kommst du darauf? x kann ja alles mögliche sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Noch eine Frage... du schreibst: "in der Summe links wird
> ueber alle ungeraden natuerlichen Zahlen summiert:
> 1,3,5,... "
>
> Du hast wohl die Summe: sinh(x) - also
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm] gemeint.
> Richtig?
ja, genau.
> Ich habe mal die ersten paar Summanden der Summe
> ausgerechnet. Habe sie also nicht bis unendlich sondern nur
> bis 5 gehen lassen... ich komme da auf die Summe von:
>
> x + [mm]\frac{x^3}{6}[/mm] + [mm]\frac{x^5}{120}[/mm] + [mm]\frac{x^7}{5040}[/mm] +
> [mm]\frac{x^9}{362880}[/mm]
>
> Das sieht für mich nach vielem aus - aber nicht nach
> ungeraden zahlen? Wie kommst du darauf? x kann ja alles
> mögliche sein...
es geht nur um die Exponenten am x.
Gruß
Will
PS: erst denken, dann fragen 
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Hallo,
mir ist noch immer nicht klar, wie man von:
(1) := $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $
auf
(2) := $ [mm] \frac{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k-(-x)^k}{k!} [/mm] $
kommt.
Ich habe jetzt über eine Stunde dies versucht nachzuvollziehen. Leider ohne Erfolg.
Zum Verständnis habe ich die beiden Reihen mal ganz genau untersucht und bei jeder Reihe mal den Zähler und den Nenner genau angeschaut.
Bei (1) sieht der Zähler ja wie folgt aus:
[mm] x^{2k+1} [/mm] - bedeutet, dass er [mm] \in \{z^1, z^3, z^5, z^7, ... \} [/mm] ist.
Der Nenner:
(2k+1)! [mm] \in \{1, 1*2*3, 1*2*3*4*5, 1*2*3*4*5*6*7, ... \}
[/mm]
Das ist ja noch sehr einsichtig.
Bei (2) sieht der Zähler wie folgt aus:
[mm] x^k-(-x)^k [/mm] bedeutet, [mm] \begin{cases} 2z^k, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Nenner: 2k! [mm] \in \{2*1!, 2*2!, 3*3!, ...\}
[/mm]
Zusätzlich wird bei (2) jedes zweite Summenglied 0, da für k gerade der Zähler und somit der Bruch 0 wird.
Aber wenn ich mal konkrete Werte für x einsetze und die Summen nicht bis unendlich gehen lasse kommen unterschiedliche Werte raus. Oder heißt das "=" Zeichen zwischen den Summen nur, dass sie gleiche Grenzwerte haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo abi2007LK!
Beim Einsetzen Deiner Werte scheinst Du mir den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] zu vergessen bzw. dass ja für ungerade $k_$ gilt:
[mm] $$\bruch{1}{2}*2*x^k [/mm] \ = \ [mm] x^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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