sin, cos linear unabhängig < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beh.: $(sin,cos) [mm] \in (\mathbb{R}^{\mathbb{R}}^2$ [/mm] sind linear unabhängig |
Beweis:
Wegen
[mm] $$\alpha [/mm] : [mm] \langle \sin, \cos \rangle \; \to \; \mathbb{R}^2 [/mm] : f [mm] \mapsto (f(0),f(\frac{\pi}{2}))$$
[/mm]
ist linear und [mm] $(\alpha(\sin) [/mm] = (0,1), [mm] \alpha(\cos) [/mm] = (1,0))$ ist linear unabhängig.
Dazu meinte meine Tutorium, dass "wenn ich wirklich verstanden hätte warum [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] linear unabhängig sind, ich das anders bewiesen hätte". (der Beweis stand so ähnlich im Skript, von daher war die Bemerkung zutreffend).
Nun gut nach kurzer Überlegung bin ich dann auf die Idee gekommen, dass [mm] $\sin$ [/mm] kein Vielfaches von [mm] $\cos$ [/mm] ist. Also:
[mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind linear unabhängig, da kein $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] existiert mit [mm] $a\cdot\sin(x) [/mm] = [mm] \cos(x) \quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm]
Insbesondere ist ja $a [mm] \cdot \sin(0) [/mm] = 0 [mm] \neq [/mm] 1 [mm] \cos(0)$
[/mm]
o.k.?
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Hallo,
nun ja die letzte Gleichung ist ja für [mm] \alpha [/mm] = 0 erfüllt....
du müstest jetzt zeigen, dass für einen beliebigen anderen Wert x nicht der gleiche Wert für [mm] \alpha [/mm] rauskommt...
Gruss Christian
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