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| Aufgabe | Sei M= [mm] \{0 \} \cup [/mm] 13 definiere die Abbildungen
f1:= M [mm] \to [/mm] M : x [mm] \mapsto x^3-2x+1 [/mm] mod 14
f1:= M [mm] \to [/mm] M : x [mm] \mapsto x^3-x+1 [/mm] mod 14
1. Bestimme möglichst große Teilmengen Ni [mm] \subseteq [/mm] M , so dass
gi:= (fi)|Ni: Ni [mm] \to [/mm] Ni
bijektiv ist für i=1,2
2.Bestimme minimale ni [mm] \in [/mm] N mit (gi)^ni = IdNi für i=1,2. Wie bekomt man daraus die Inverse zu gi
3.Bestimme die Mengen M/ [mm] \sim [/mm] fi für i=1,2 |
Hallo
Also mit dem ersten Punkt hab ich keine Probleme hab da einfach alle Funktionswerte berrechnet und den Graphen gemalt und geguckt wo die Funktion bijektiv ist.
Zu zweitens würde ich sagen, das man die Inverse von gi ^ni durch ni [mm] \wurzel{gi} [/mm] bekommt. Aber ich weiß nicht was diese ni sein sollen wie man darauf kommt.
Zu drittens hab ich garkeine Ahnung. Ich weiß zwar was eine Äquivalenzrelation ist aber leider nicht wie ich die von fi finde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei M= [mm]\{0 \} \cup[/mm] 13 definiere die Abbildungen
Dieses $M= [mm]\{0 \} \cup[/mm] 13$ ist mir in der Bedeutung unklar.
> f1:= M [mm]\to[/mm] M : x [mm]\mapsto x^3-2x+1[/mm] mod 14
> f1:= M [mm]\to[/mm] M : x [mm]\mapsto x^3-x+1[/mm] mod 14
> 1. Bestimme möglichst große Teilmengen Ni [mm]\subseteq[/mm] M ,
> so dass
> gi:= (fi)|Ni: Ni [mm]\to[/mm] Ni
> bijektiv ist für i=1,2
> 2.Bestimme minimale ni [mm]\in[/mm] N mit (gi)^ni = IdNi für
> i=1,2. Wie bekomt man daraus die Inverse zu gi
> 3.Bestimme die Mengen M/ [mm]\sim[/mm] fi für i=1,2
> Hallo
>
> Also mit dem ersten Punkt hab ich keine Probleme hab da
> einfach alle Funktionswerte berrechnet und den Graphen
> gemalt und geguckt wo die Funktion bijektiv ist.
Aufgrund Deiner Fragen, waere ich interessiert, wie genau Deine Loesung aussieht. Vielleicht steckt darin schon Ursache der Schwierigkeiten mit dem Folgenden.
> Zu zweitens würde ich sagen, das man die Inverse von gi
> ^ni durch ni [mm]\wurzel{gi}[/mm] bekommt. Aber ich weiß nicht was
> diese ni sein sollen wie man darauf kommt.
Sobald Du die [mm] $g_{i}$ [/mm] kennst, es ist ja eine Permutation des [mm] $N_{i}$, [/mm] notierst Du es in der ueblichen Schreibweise fuer Permutationen (Tabelle, Zykel etc.). Dann bildest Du solange Potenzen [mm] $g_{i}^{k}$ [/mm] bis die Identitaet herauskommt. Das erste solche $k$ ist das gesuchte [mm] $n_{i}$.
[/mm]
Nun zur Inversen: Hat man [mm] $g_{i}^{n_{i}}= [/mm] 1$, so ist ja auch [mm] $g_{i}g_{i}^{n_{i}-1}= [/mm] 1$. Daraus kannst Du die Inverse von [mm] $g_{i}$ [/mm] sicher ablesen.
> Zu drittens hab ich garkeine Ahnung. Ich weiß zwar was
> eine Äquivalenzrelation ist aber leider nicht wie ich die
> von fi finde.
Ich vermute es ist die Äquivalenzrelation [mm] $x\sim y\iff [/mm] f(x)= f(y)$ gemeint.
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Also M ist die Verienigung der Zahlen 1-13.
Meine Lösungen zu 1. sind [0,3], [3,4],[4,5],[5,6],[6,8],[8,9][9,10][10,12][12,13]. Das sind die einzelenen Teilmengen in denen gi bijektiv ist.
d.h. jetzt ich muss zu jeder einzelner dieser teilmengen in zwei die ni bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hippias |
Danke fuer die Erlaeuterung zu $M$: haette ich auch selbst drauf kommen koennen!
Eine Menge auf der die Einschraenkung von [mm] $f_{1}$ [/mm] bijektiv ist, ist z.B. $X:= [mm] \{0,1\}$, [/mm] denn [mm] $f_{1}(0)= [/mm] 1$ und [mm] $f_{1}(1)= [/mm] 0$, sodass [mm] $f_{1}$ [/mm] auf $X$ injektiv und surjektiv ist; also [mm] $f_{1}$ [/mm] induziert den $2$-Zykel $(0,1)$. Eine solche Menge soll von Dir mit moeglichst vielen Elementen bestimmt werden.
Man erkennt fuer diese Menge $X$ auch sogleich, dass [mm] $f_{1}^{2}$ (=$f_{1}$ [/mm] zweimal hintereinander ausgefuehrt) gleich der Identitaet auf $X$ ist. Fuer $X$ waere folglich [mm] $n_{1}= [/mm] 2$.
Hilft das? Mit den von Dir angegebenen Mengen(?) kann ich leider nicht viel anfangen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Fr 04.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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