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Forum "Uni-Stochastik" - sigma-algebra
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sigma-algebra: tipp,korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mi 22.04.2015
Autor: forestdumb

Aufgabe
a) Geben sei eine Menge [mm] $\Omega \neq \emptyset$.Zeigen [/mm] sie,dass das folgende Mengensystem eine [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$ [/mm] ist:

$ F := [mm] \{A \subseteq \Omega | A$ höchstens abzählbar oder $A^c$ höchstens abzählbar $\}$ [/mm]

b) GEgeben seien eine Menge [mm] $\Omega \neq \emptyset$ [/mm] , eine (beliebige) Indexmenge I [mm] \neq \emptyset [/mm] sowie [mm] $\sigma-$Algebren [/mm] $ [mm] F_{i}, [/mm] i [mm] \in [/mm] I, $über [mm] $\Omega$. [/mm] Zeigen sie,dass dann das folgende Mengensystem ebenfalls eine [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$ [/mm] ist:

$F := [mm] \bigcap_{i \in I} F_{i}$ [/mm]  
$c)$ Seien [mm] $\emptyset \neq [/mm] B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] und $ F$ eine [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$. [/mm] Zeigen sie,dass dann  $B [mm] \cap [/mm]  F:= [mm] \{B \cap A | A \in F\}$ [/mm] eine [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] über $B$ ist ( die [mm] Spur$-\sigma-$Algebra [/mm] in B)

hallo


eine algebra ist ja erstmal so definiert:

$i) [mm] \Omega \in [/mm] F$

$ii) F$ ist komplementstabil , d.h. [mm] $A\in [/mm] F [mm] \Rightarrow A^c \in [/mm] F [mm] \forall [/mm] A [mm] \in [/mm] F$

$iii) F$ ist [mm] $\sigma-$stabil, [/mm] d.h. [mm] $\{A_n: n\in \IN\} \subset [/mm] F [mm] \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in [/mm] F$


ich hab keinerlei ahnung wie ich daran gehen soll,weil ich weiss nicht wie ich die Axiome nachweisen kann :/

        
Bezug
sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mi 22.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na fangen wir mal schrittweise mit dem ersten Mengensystem an:

$ F := [mm] \{A \subseteq \Omega | A $ höchstens abzählbar oder $ A^c $ höchstens abzählbar $ \} [/mm] $

i) Hier wäre also zu zeigen: [mm] $\Omega\in [/mm] F$ also in dieser Aufgabe [mm] \Omega [/mm] ist abzählbar oder [mm] \Omega^c [/mm] ist abzählbar.
Was ist denn [mm] $\Omega^c$? [/mm] Und ist [mm] \Omega [/mm] oder [mm] \Omega^c [/mm] immer abzählbar?

ii) Hier ist zu zeigen: Unter der Annahme dass [mm] $A\in [/mm] F$ soll auch [mm] A^c [/mm] in F sein

Also nehmen wir das mal an: [mm] $A\in [/mm] F$. Dann gilt also was für A?
Was ist dann für [mm] A^c [/mm] zu zeigen?
Tipp: Nützlich ist hier sicherlich [mm] $(A^c)^c [/mm] = A$

iii) machen wir danach.

Gruß,
Gono

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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mi 22.04.2015
Autor: forestdumb

jupp

hi gonzo,


$i)$ [mm] $\Omega$ [/mm] ist hier überabzählbar ,da zwei abzählbare mengen vereinigt  eine überabzählbare ergeben  $A [mm] \cup A^c [/mm] = [mm] \Omega$ [/mm] . also [mm] $\Omega$ [/mm] ist überabzählbar ,dann ist [mm] $\Omega^c [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] und die leere Menge ist abzählbar und deshalb [mm] $\Omega \in [/mm] F$


$ii)$ 1 Fall.:
ist $A$ abzählbar so ist [mm] $(A^c)^c$ [/mm] auch abzählbar, also eine menge ist in $F$ wenn die menge an sich oder das komplemte abzählbar ist. Ist $A$ abzählbar so ist [mm] $A^c$ [/mm] auch [mm] $\in [/mm] F$


2.Fall:

eigentlich trivial ist [mm] $A^c$ [/mm] abzähl so ist [mm] $A^c$ [/mm] in $F$


gut so?

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mi 22.04.2015
Autor: fred97


> jupp
>
> hi gonzo,
>  
>
> [mm]i)[/mm] [mm]\Omega[/mm] ist hier überabzählbar

echt ?


> ,da zwei abzählbare
> mengen vereinigt  eine überabzählbare ergeben

Das ist Unfug. Die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar.


>   [mm]A \cup A^c = \Omega[/mm]
> . also [mm]\Omega[/mm] ist überabzählbar


Nein, das muss nicht sein.




> ,dann ist [mm]\Omega^c = \emptyset[/mm]

Bingo !!!!


> und die leere Menge ist abzählbar und deshalb [mm]\Omega \in F[/mm]

Yeah.


>  
>
> [mm]ii)[/mm] 1 Fall.:
> ist [mm]A[/mm] abzählbar so ist [mm](A^c)^c[/mm] auch abzählbar, also eine
> menge ist in [mm]F[/mm] wenn die menge an sich oder das komplemte
> abzählbar ist. Ist [mm]A[/mm] abzählbar so ist [mm]A^c[/mm] auch [mm]\in F[/mm]
>  
>
> 2.Fall:
>  
> eigentlich trivial ist [mm]A^c[/mm] abzähl so ist [mm]A^c[/mm] in [mm]F[/mm]

Ja

FRED

>  
>
> gut so?


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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mi 22.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

fred hat ja das wesentliche schon gesagt, von mir bekommst du noch einen Tipp zur iii):

1. Fall: Mindestens ein [mm] A_n^c [/mm] ist abzählbar, dann betrachte mal [mm] \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm]

2. Fall kein [mm] A_n^c [/mm] ist abzählbar (was bedeutet das für alle [mm] $A_n$'s?) [/mm]

Gruß
Gono

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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Mi 22.04.2015
Autor: forestdumb

also iii)

[mm] $A_{i} \in [/mm] F , i [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in [/mm] F$


"2. Fall kein $ [mm] A_n^c [/mm] $ ist abzählbar (was bedeutet das für alle $ [mm] A_n [/mm] $'s?)"

ja das bedeutet :

das alle $ [mm] A_{i}'s$ [/mm] abzählbar sind und somit alle $ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in [/mm] F$



"1. Fall: Mindestens ein $ [mm] A_n^c [/mm] $ ist abzählbar, dann betrachte mal
$ [mm] \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm] $"

[mm] $\left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm] $ ist dann auch nicht abzählbar

$ [mm] \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm]  = [mm] \bigcap_{i=1}^{\IN} A_i^c$ [/mm] mit de morgan  und damit ist das komplement abzählbar  [mm] $\Rightarrow \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)$ [/mm] ist im schnitt.

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 22.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

schreibe es noch etwas genauer auf:

> ja das bedeutet :
>  
> das alle [mm]A_{i}'s[/mm] abzählbar sind und somit alle [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in F[/mm]

Ohne das zweite "alle".


> "1. Fall: Mindestens ein [mm]A_n^c[/mm] ist abzählbar, dann
> betrachte mal
> [mm]\left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm]"
>  
> [mm]\left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c[/mm] ist dann auch nicht
> abzählbar

Ohne Komplementbildung
  

> [mm]\left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c = \bigcap_{i=1}^{\IN} A_i^c[/mm]

Was ist das für ne Schreibweise? Bitte:  [mm] \bigcap_{n\in\IN} A_i^c [/mm]

> mit de morgan  und damit ist das komplement abzählbar  
> [mm]\Rightarrow \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)[/mm] ist im schnitt.

In welchem Schnitt? Du meinst in der Sigma-Algebra.

Gruß,
Gono

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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mi 22.04.2015
Autor: forestdumb

jupp, wie gehe ich jetzt die anderen aufgaben an?

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mi 22.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> jupp, wie gehe ich jetzt die anderen aufgaben an?

völlig analog!
Ist dir denn klar, was [mm] $\bigcap_{i \in I} F_{i}$ [/mm] bedeutet und wann etwas im Schnitt liegt?
Für die zweite Aufgabe brauchst du eigentlich echt nur die Eigenschaft des Schnitts und dass die [mm] F_i [/mm] selbst Sigma-Algebren sind.

Mach mal!

Gruß,
Gono

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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 23.04.2015
Autor: forestdumb

$ F := [mm] \bigcap_{i \in I} F_{i} [/mm] $  

da $   [mm] F_{i}$ [/mm]    sigma-algebraen sind $   [mm] \Rightarrow \emptyset \in F_{i} \Rightarrow \emptyset \in \bigcap_{i \in I} F_{i}$ [/mm]  

noch z.Zeigen [mm] $A\in \bigcap_{i \in I} F_{i}\Rightarrow A^c \in \bigcap_{i \in I} F_{i} [/mm] $    ja da [mm] F_{i} [/mm] wieder sigma algebren sind $   [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in F_{i} \Rightarrow A^c \in F_{i}$ [/mm]   das heißt ja eigentlich auch wieder das $   [mm] \Rightarrow \bigcap_{i \in I} [/mm] A [mm] \in F_{i} \Rightarrow \bigcap_{i \in I} A^c \in F_{i}$ [/mm]


ja jetzt muss man ja noch zeigen,dass $ [mm] A_{k} \in [/mm] F , k [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in F_{i} [/mm] $

da die einzelnen [mm] F_i [/mm] ja sigma-algebren sind heißt das im endeffekt $ [mm] A_{k} \in [/mm] F , k [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in F_{i} [/mm] $ und das heißt wiederum [mm] $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \bigcap_{i \in I} F_{i} [/mm] $

und damit ist $ F := [mm] \bigcap_{i \in I} F_{i} [/mm] $    eine sigma-algebra

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Do 23.04.2015
Autor: fred97


> [mm]F := \bigcap_{i \in I} F_{i}[/mm]  
>
> da [mm]F_{i}[/mm]    sigma-algebraen sind [mm]\Rightarrow \emptyset \in F_{i} \Rightarrow \emptyset \in \bigcap_{i \in I} F_{i}[/mm]
>  
>
> noch z.Zeigen [mm]A\in \bigcap_{i \in I} F_{i}\Rightarrow A^c \in \bigcap_{i \in I} F_{i}[/mm]
>    ja da [mm]F_{i}[/mm] wieder sigma algebren sind [mm]\Rightarrow A \in F_{i} \Rightarrow A^c \in F_{i}[/mm]
>   das heißt ja eigentlich auch wieder das [mm]\Rightarrow \bigcap_{i \in I} A \in F_{i} \Rightarrow \bigcap_{i \in I} A^c \in F_{i}[/mm]
>  
>
> ja jetzt muss man ja noch zeigen,dass [mm]A_{k} \in F , k \in \IN \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in F_{i}[/mm]
>  
> da die einzelnen [mm]F_i[/mm] ja sigma-algebren sind heißt das im
> endeffekt [mm]A_{k} \in F , k \in \IN \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in F_{i}[/mm]
> und das heißt wiederum [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \bigcap_{i \in I} F_{i}[/mm]
>  
> und damit ist [mm]F := \bigcap_{i \in I} F_{i}[/mm]    eine
> sigma-algebra


Ist O.K.

FRED

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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Do 23.04.2015
Autor: forestdumb

fred wie mach ich die letzte?

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Do 23.04.2015
Autor: fred97


> fred wie mach ich die letzte?

Wie immer. Zeige:

1. $B [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F$;

2. aus  $C [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F$ folgt $B [mm] \setminus [/mm] C [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F$

und

3. aus [mm] $C_1,C_2,.... \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F$ folgt [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}C_i \in [/mm]  B [mm] \cap [/mm] F$

FRED


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Bezug
sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Do 23.04.2015
Autor: forestdumb

ich hab keine ahnung wie ich
1. $ B [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $;  zeigen soll,ich donkey :DD

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sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Do 23.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich hab keine ahnung wie ich
> 1. [mm]B \in B \cap F [/mm];  zeigen soll,ich donkey :DD

Na [mm] $B\cap [/mm] F$ ist doch definiert als alle Mengen [mm] $B\cap [/mm] A$ mit [mm] $A\in [/mm] F$.

Und aufpassen: Du sollst ja zeigen, dass [mm] $B\cap [/mm] F$ eine Sigma-Algebra über B (!) ist, d.h. du musst sämtliche Operationen wie Komplementbildung etc über B machen.

So, um zu zeigen, dass $B [mm] \in B\cap [/mm] F$ musst du also zeigen, dass es ein [mm] $A\in [/mm] F$ gibt, so dass $B = [mm] B\cap [/mm] A$

Gruß,
Gono


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sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Do 23.04.2015
Autor: forestdumb

da $F$ als algebra über [mm] $\Omega$ [/mm] definiert heißt das ja nach axiome  (i) [mm] $\Omega \in [/mm] F$ und da  $B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm]

also gibt es ein $A [mm] \in [/mm] F$ ,das [mm] $\Omega$ [/mm] wäre und so $B = B [mm] \cap \Omega \Rightarrow [/mm] B [mm] \in B\cap [/mm] F$

2.$ C [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $ folgt $ B [mm] \setminus [/mm] C [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $

Bew:

sei $ C [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $ , dann ist da ein $A [mm] \in [/mm] F$ sodass $C$ ein komplement bildet bzgl. $B$

[mm] $C^c= [/mm] B [mm] \cap(C)^c$ [/mm]
$= B [mm] \cap(A\cap B)^c$ [/mm]
de morgan

$= B [mm] \cap(A^c \cup B^c)$ [/mm]

distributivgesetzt

$= (B [mm] \cap B^c)\cup(A^c \cap [/mm] B)$

$(B [mm] \cap B^c)$ [/mm] ist disjunkt

[mm] $\Rightarrow C^c=A^c \cap [/mm] B$

damit folgt [mm] $A^c \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ und somit auch die behauptung

3. aus $ [mm] C_1,C_2,.... \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $ folgt $ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}C_i \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] F $

Bew: d.h. es exists ein [mm] $A_i [/mm] , i [mm] \in \IN \in [/mm] F$ so dass [mm] $C_{i}=B \cap A_i [/mm] , i [mm] \in \IN [/mm] $

dass heißt ja [mm] $\bigcup_{n \in \IN} C_{n}=B \cap \bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm]  $

weil B unabhängig vom lauf indices ist,geht das so :)

und da [mm] $\bigcup_{n \in \IN} A_n \in [/mm] F [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \cap \bigcup_{n \in \IN} A_n \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] A $

ja und daraus folgt die behauptung :)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Do 23.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> damit folgt [mm]A^c \cap B \in A \cap B[/mm]

Du meinst: Und damit folgt: [mm] $C^c \in B\cap [/mm] F$, da [mm] $A^c \in [/mm] F$

Sonst stimmt es.
Aber aufpassen mit deiner Notation: Einmal schreibst du [mm] C^c [/mm] und meinst [mm] $B\setminus [/mm] C$. Einmal [mm] A^c [/mm] und meinst [mm] $\Omega\setminus [/mm] A$.
Schreibe also, wie zu Beginn, lieber nur [mm] $B\setminus [/mm] C$ und NUR [mm] C^c, [/mm] wenn du Wirklich [mm] $\Omega\setminus [/mm] C$ meinst.

> weil B unabhängig vom lauf indices ist,geht das so :)

Und weil das Distributivgesetz gilt!

> und da [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n \in F \Rightarrow B \cap \bigcup_{n \in \IN} A_n \in B \cap A[/mm]
>  
> ja und daraus folgt die behauptung :)

Ok.

Gruß,
Gono

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