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selbstadjungierte Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 13.05.2012
Autor: Noob2332

Aufgabe
Sei S ein unitärer Vektorraum mit
Skalarprodukt und seien l* : S --> S und g* : S --> S selbstadjungierte,
lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass g o l genau dann selbstadjungiert ist,
wenn g und l kommutieren.

g o l= Kompostion von g mit  l.

Ich habe zwei selbstadjungiert Abbildunge g* und l*.
Die sind genau dann selbstadjungiert, wenn g o l = l o g ist.
Also muss doch: <l*x,y>=<g*x,y> sein.

Stimmt das so in etwa?






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
selbstadjungierte Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 So 13.05.2012
Autor: hippias


> Sei S ein unitärer Vektorraum mit
>  Skalarprodukt und seien l* : S --> S und g* : S --> S

> selbstadjungierte,
>  lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass g o l genau dann
> selbstadjungiert ist,
>  wenn g und l kommutieren.
>  
> g o l= Kompostion von g mit  l.
>  Ich habe zwei selbstadjungiert Abbildunge g* und l*.

Ja.

>  Die sind genau dann selbstadjungiert, wenn g o l = l o g
> ist.

Nein:  Zeigen Sie, dass g o l genau dann selbstadjungiert ist, wenn g und l kommutieren.

>  Also muss doch: <l*x,y>=<g*x,y> sein.

>  
> Stimmt das so in etwa?

Nein (s.o.)

>  
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
selbstadjungierte Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 So 13.05.2012
Autor: Noob2332

Kommutieren heißt doch aber, dass g o l zu l o g wird?
Ich hab keine Ahnung, wie ich das zeigen soll .
Könnt ihr mir irgend eine Idee für den Ansatz geben?

Bezug
        
Bezug
selbstadjungierte Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mo 14.05.2012
Autor: fred97

$g [mm] \circ [/mm] l$  ist selbstadjungiert  [mm] \gdw [/mm]  $g [mm] \circ [/mm] l= (g [mm] \circ l)^{\star}$ [/mm]

Es ist  $(g [mm] \circ l)^{\star}= l^{\star} \circ g^{\star}$ [/mm]

Jetzt mach Du weiter.

FRED

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selbstadjungierte Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Mo 14.05.2012
Autor: Noob2332

also gilt dann: g* o l* = l* o g*

somit muss auch <g* x,y> o <l* x,y> = <l* x,y> o <g* x,y> sein.

Ist das denn Überhaupt möglich, da ja g* und l* lineare Abbildungen sind,
also von S-->S  abbilden und das Skalarprodukt ja von [mm] S^n [/mm] --> S abbildet.
Da würde ich im Endeffekt ja nur:Skalar(1) o Skalar(2)= Skalar(2) o Skalar (1) zeigen.
Wie müsste ich denn da weiter machen? Hab irgendwie das Gefühl, dass ich auf einem total falschen Weg bin :/

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selbstadjungierte Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 Mo 14.05.2012
Autor: Noob2332

Hat denn keiner eine Idee dazu?

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selbstadjungierte Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mo 14.05.2012
Autor: Blech


> somit muss auch <g* x,y> o <l* x,y> = <l* x,y> o <g* x,y> sein.

Nein! Wie willst Du überhaupt 2 Skalare miteinander verknüpfen?

Du hast doch Deine Formel für g. Jetzt ersetzt Du g durch [mm] $g\circ [/mm] l$:

[mm] $\langle\ (g\circ l)(x),\, [/mm] y\ [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle\ x,\, (g\circ l)^\*(y)\ \rangle [/mm] = [mm] \langle\ x,\, (l^\* \circ g^\*)(y)\ \rangle$ [/mm]

$g:\ [mm] S\to [/mm] S$, und $l:\ [mm] S\to [/mm] S$, also ist auch [mm] $g\circ [/mm] l:\ [mm] S\to [/mm] S$. Nenn's [mm] $h:=g\circ [/mm] l$, wenn es Dir damit leichter fällt.

Wie auch immer, [mm] $(g\circ [/mm] l)(x)$ kann man auch schreiben als $g(l(x))$, und wir wissen ja schon

[mm] $\langle\ g(l((x)),\, [/mm] y\ [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle\ l(x),\, [/mm] g(y)\ [mm] \rangle$ [/mm]

(wieso?)

Und wenn wir da weiterrechnen, kommen wir auf was?

> also von S-->S  abbilden und das Skalarprodukt ja von $ [mm] S^n [/mm] $ --> S abbildet.

S ist der Vektorraum. [mm] $S^n$ [/mm] haben wir überhaupt nicht.

ciao
Stefan

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selbstadjungierte Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 Di 15.05.2012
Autor: Noob2332

Erst mal viel Dank für deinen Beitrag!

Was ich nicht verstehe ist, warum: <g(l(x)),y>=<g(x),l(y)> ist.

Ich versuche mir das grade mal klar zu machen:

<g(l(x)),y>=<g o l ,y>=<(g o l)*,y>=<l* o g*,y> somit ist es egal ob ich g(l(x)) oder l(g(x)) schreibe.
Und es gilt ja auch: <g(l(x),y>=<x,g(l(y)) folgt daraus dann: <g(x), l(y)> ?

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selbstadjungierte Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Di 15.05.2012
Autor: Blech


> Was ich nicht verstehe ist, warum: <g(l(x)),y>=<g(x),l(y)> ist.

Ist es nicht. Lies meine Antwort nochmal.

> $ [mm] \langle\ g(l((x)),\, [/mm] y\ [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle\ l(x),\, [/mm] g(y)\ [mm] \rangle [/mm] $

Die Gleichheit gilt, weil g selbstadjungiert ist. Schreib $z:=l(x)$, wenn es Dir einfacher fällt.

> <g(l(x)),y>=<g o l ,y>

[mm] $\langle g\circ [/mm] l, [mm] y\rangle$ [/mm] ergibt überhaupt keinen Sinn. [mm] $g\circ [/mm] l$ ist eine Abbildung [mm] $S\to [/mm] S$, y ein Element aus S.

[mm] $\langle (g\circ [/mm] l)(x), [mm] y\rangle$ [/mm]
ergibt Sinn, weil [mm] $(g\circ [/mm] l)(x) = g(l(x))$ ein Element aus S ist.
[mm] $x\in [/mm] S$, [mm] $l:S\to [/mm] S$, also ist [mm] $l(x)\in [/mm] S$, und analog auch $g(l(x))$.

ciao
Stefan

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selbstadjungierte Abbildung: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:31 Do 23.05.2013
Autor: LLCooLUwe

Hallo, ich hoffe es stört keinen , wenn ich diese alte Aufgabe nochmal aufrufe ,denn sitze zur zeit an der selben Aufgabe, habe es auch soweit alles verstanden (denke ich).
Jedoch ist mir noch unklar , was ich wirklich zum Schluss heraus bekommen muss, also was dort stehen muss damit ich gezeigt hab das l und g kommutieren müssen , da mit l verknüpft mit g wieder selbstadjungiert ist.

Wäre nett wenn mir jemand nen Tipp geben könnte.
mfg Uwe

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selbstadjungierte Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 So 26.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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