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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Leucram |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(e^{i*z})^n
[/mm]
1.) für welche [mm] z\in\IC [/mm] konvergiert die reihe
2.) wie sieht der konvergenzbereich aus? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich komm mit der aufgabe nicht klar :(
mein ansatz wäre nur der:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(e^{i*z})^n [/mm] = 1/(1-{e^(i*z)}
ich würds übers cauchy-kriterium probieren,aber ich bekomms nicht hin.
[mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] n0 [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] n0: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(e^{i*z})^n [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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Dein Ansatz ist schon mal ganz gut, allerdings solltest du dir nun Gedanken machen, unter welchen Voraussetzungen an die Glieder der Reihe die Geometrische Reihe konvergiert. Dies funktioniert nämlich genau dann, wenn die Beträge der Glieder < 1 sind, also wenn [mm] |e^{iz}| < 1 [/mm] gilt. Um diese Bedingung in eine Bedingung an z zu überführen, solltest du [mm] z = Re(z) + i Im(z) [/mm] schreiben und das Exponentialgesetz ausnutzen. Dann siehst du sofort, dass du eine Einschränkung an den Imaginärteil von z machen musst, um die Konvergenzbedingung zu erfüllen. Geometrisch bedeutet dies, dass der Konvergenzbereich das Komplement eines Streifens in der Gauss'schen Ebene ist.
Zum Cauchy-Kriterium: Das ist ein sehr theoretisches Kriterium und funktioniert in den meisten praktischen Anwendungen gar nicht oder nur mit Mühe. Ausserdem solltest du dir dein Kriterium nochmal ansehen, es ist nämlich nicht ganz korrekt formuliert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 05.04.2007 | | Autor: | nsche |
ich klinke mich mal ein, weil
a) ich die Frage verfolgen will
b) Reihen für mich immer problematisch sind
Ich taste mich mal ran:
Damit die Reihe überhaupt konvergieren kann, muss gelten:
[mm]|e^{i-z}| <1 [/mm]
[mm]|e^{i-z}|=|e^{i-Re(z)-iIm(z)}|[/mm]
[mm]=|e^{-Re(z)+i(1-Im(z))}|[/mm]
[mm]=|e^{-Re(z)} e^{i(1-Im(z))}|[/mm]
[mm]=|e^{-Re(z)}||e^{i(1-Im(z))}|[/mm]
[mm]=|e^{-Re(z)}|*1[/mm]
[mm]=e^{-Re(z)}[/mm]
[mm]e^{-Re(z)} < 1 \Rightarrow Re(z) >0 [/mm]
ist das soweit richtig? Luckyguy77 schreibt von Einschränkungen für Im(z), da hab ich wohl was falsch gemacht :-( Aber was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wiso nimmst du denn i-z, es heist doch iz, aber dein Ansatz ist richtig. Versuchs mal mit der Euler-Formel.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 05.04.2007 | | Autor: | nsche |
Hund, danke für den Hinweis. Ich hab falsch gelesen
vG
Norbert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 Di 10.04.2007 | | Autor: | Leucram |
hi, danke erstmal für eure antworten, wie lautet denn jetzt eigentlich die richtige lösung..... ?
.... so vielleicht (habs mal probiert):
[mm] |e^{i*z}|<1 [/mm]
[mm] |e^{i*z}|=e^{i*(r*(\cos(\delta)+i*\sin(\delta))}
[/mm]
[mm] |e^{i*z}|=e^{r*\cos(\delta)+i*(1+\sin(\delta))}
[/mm]
[mm] |e^{i*z}|=e^{r*\cos(\delta)}*e^{i*(1+\sin(\delta))}
[/mm]
[mm] |e^{i*z}|=e^{r*\cos(\delta)}*1
[/mm]
[mm] |e^{i*z}|=e^{r*\cos(\delta)}
[/mm]
=> [mm] e^{r*\cos(\delta)}<1
[/mm]
=> Re(z)>0
bin mir nicht sicher, stimmt es so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 12.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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