schwach*-Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mo 08.12.2008 | | Autor: | marymary |
| Aufgabe | | Sei X ein endlichdimensionaler normierter Raum. Zeige, dass die schwach*-Konvergenz auf X' mit der Normkonvergenz übereinstimmt (Hinweis: Benutze eine Basis) |
Das ist mir bisher eingefallen dazu:
Normkonvergenz impliziert schwach*-Konvergenz, das weiß ich schon aus der Vorlesung.
X endlich dimensional heißt X [mm] \hat= \IR^{m} [/mm] (ich weiß nicht, ob das weiterhilft). Aber auf jeden Fall gibt es für X eine Basis, sagen wir [mm] v_{i} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m
Sei [mm] p_{n} \in [/mm] X' und konvergiere schwach* gegen p [mm] \in [/mm] X', d.h. [mm] p_{n} [/mm] konvergiert punktweise gegen p, d.h. [mm] p_{n} [/mm] (x) [mm] \to [/mm] p(x) für alle x in X.
Insbesondere gilt [mm] p_{n} (v_{i}) \to p(V_{i}) [/mm] für alle i.
Irgendwie will ich jetzt zeigen, dass [mm] \parallel p_{n} [/mm] - p [mm] \parallel \to [/mm] 0,
d.h. [mm] sup_{\parallel x \parallel \le 1} [/mm] | ( [mm] p_{n} [/mm] - p) (x) | [mm] \to [/mm] 0, oder?
Das war schon alles, was mir zu dieser Aufgaben einfällt.....
Bitte, wer kann mir weiterhelfen?
LG, Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mo 08.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Sei X ein endlichdimensionaler normierter Raum. Zeige, dass
> die schwach*-Konvergenz auf X' mit der Normkonvergenz
> übereinstimmt (Hinweis: Benutze eine Basis)
> Das ist mir bisher eingefallen dazu:
>
> Normkonvergenz impliziert schwach*-Konvergenz, das weiß ich
> schon aus der Vorlesung.
>
> X endlich dimensional heißt X [mm]\hat= \IR^{m}[/mm] (ich weiß
> nicht, ob das weiterhilft). Aber auf jeden Fall gibt es für
> X eine Basis, sagen wir [mm]v_{i}[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] m
>
> Sei [mm]p_{n} \in[/mm] X' und konvergiere schwach* gegen p [mm]\in[/mm] X',
> d.h. [mm]p_{n}[/mm] konvergiert punktweise gegen p, d.h. [mm]p_{n}[/mm] (x)
> [mm]\to[/mm] p(x) für alle x in X.
>
> Insbesondere gilt [mm]p_{n} (v_{i}) \to p(V_{i})[/mm] für alle i.
>
> Irgendwie will ich jetzt zeigen, dass [mm]\parallel p_{n}[/mm] - p
> [mm]\parallel \to[/mm] 0,
> d.h. [mm]sup_{\parallel x \parallel \le 1}[/mm] | ( [mm]p_{n}[/mm] - p) (x)
> | [mm]\to[/mm] 0, oder?
>
> Das war schon alles, was mir zu dieser Aufgaben
> einfällt.....
> Bitte, wer kann mir weiterhelfen?
Ich würde über die duale Basis gehen: da X und damit $X'$ beide endlichdimensional sind, kannst du die zu [mm]v_{i}[/mm] duale Basis konstruieren und jedes der [mm] $p_n$ [/mm] und auch $p$ als endliche Linearkombination dieser dualen Basisvektoren ausdrücken.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Fr 12.12.2008 | | Autor: | marymary |
dankeschön!
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