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| Aufgabe | Zeige durch Vergleich mit uneigentlichen Integral, dass die Riemannsche zetafkt [mm] \zeta [/mm] für alle s [mm] \in \IC [/mm] mit R(s) >1 durch
[mm] \zeta(s) [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n^-s
definiert ist, die reihe konvergiert |
Hallo zusammen
was genau mach ich denn da jetz? iwie komm ich da auf keinen ansatz;
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 So 26.04.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Chrissi2709,
> Zeige durch Vergleich mit uneigentlichen Integral, dass die
> Riemannsche zetafkt [mm]\zeta[/mm] für alle s [mm]\in \IC[/mm] mit R(s) >1
> durch
> [mm]\zeta(s)[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n^-s
> definiert ist, die reihe konvergiert
> Hallo zusammen
>
> was genau mach ich denn da jetz? iwie komm ich da auf
> keinen ansatz;
kennst du das Integralvergleichskriterium?
Sei [mm] f:[1,\infty)\to\IR_+ [/mm] eine monoton fallende Funktion, dann gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}f(n) [/mm] konvergiert [mm] \gdw{\integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}} [/mm] konvergiert.
Auf deine Aufgabe bezogen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] konvergiert [mm] \gdw{\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^s} dx}} [/mm] konvergiert.
Noch ein Hinweis: [mm] \zeta(s) [/mm] konvergiert für alle [mm] s\ge{2}. [/mm] Betrachte zuerst den Fall s=1 und dann den allgemeinen Fall.
Du musst dir jetzt 'nur' das uneigentliche Integral $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^s} dx}$ [/mm] ansehen. Wenn das konvergiert, folgt aus dem obigen Satz die Konvergenz der Reihe.
Viel Erfolg.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Mi 08.07.2015 | | Autor: | mispace |
Auch wenn der Artikel schon etwas länger her ist, möchte ich doch festhalten, dass das Integral bzw. die Riemann-Zetafunktion bereits für ein R(s) > 1 anstelle der hier angegebenen [mm] \ge [/mm] 2 konvergiert.
mispace
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