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richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Mi 23.09.2009
Autor: AriR

hey leute,

heute wurde gesagt, dass folgendes gilt:

[mm] Df_v(x_0)=Df(x_0)*v [/mm]

also bedeutet dies, dass die richtungsableitung in Richtung v im punkt [mm] x_0 [/mm] für eine funktion die nach [mm] \IR [/mm] geht, gerade der [mm] grad(x_0)*v [/mm] gilt.

mich wundert, wo die einschränkung [mm] ||v||_2=1 [/mm] bleibt? das soll angeblich für beliebige v gelten demnach wäre die Ableitung ja nicht mehr eindeutig und es würde gelten [mm] Df_v(x_0)=\lambda*grad(x_0)*v [/mm] für alle [mm] \lambda\in\IR, [/mm] aber das kann doch eigentlich gar nicht sein.

wisst ihr was ich evtl falsch sehe bzw falsch verstanden habe?

danke und gruß :)





        
Bezug
richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Mi 23.09.2009
Autor: fred97


> hey leute,
>  
> heute wurde gesagt, dass folgendes gilt:
>  
> [mm]Df_v(x_0)=Df(x_0)*v[/mm]


Das gilt aber nur, wenn f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist.


>  
> also bedeutet dies, dass die richtungsableitung in Richtung
> v im punkt [mm]x_0[/mm] für eine funktion die nach [mm]\IR[/mm] geht, gerade
> der [mm]grad(x_0)*v[/mm] gilt.
>  
> mich wundert, wo die einschränkung [mm]||v||_2=1[/mm] bleibt? das
> soll angeblich für beliebige v gelten demnach wäre die
> Ableitung ja nicht mehr eindeutig und es würde gelten
> [mm]Df_v(x_0)=\lambda*grad(x_0)*v[/mm] für alle [mm]\lambda\in\IR,[/mm] aber
> das kann doch eigentlich gar nicht sein.
>  
> wisst ihr was ich evtl falsch sehe bzw falsch verstanden


Ja. Sei v [mm] \in \IR^n [/mm] , v [mm] \not=0 [/mm] (v muß nicht normiert sein).

Die definition der Richtungsableitung von f in [mm] x_0 [/mm] in Richtung v ist:

        (*)      [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} [/mm]

(falls dieser Limes ex.)

Sei $g(t) := [mm] f(x_0+tv)$. [/mm] Dann siehst Du : der Limes in (*) ist gerade = g'(0).

Nun sei f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar. Dann ist g in t=0 differenzierbar und (Kettenregel !):

          $g'(t) = [mm] gradf(x_0+tv)*v$ [/mm]

Somit:

              
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} [/mm] = g'(0) = [mm] gradf(x_0)*v$ [/mm]

FRED

> habe?
>  
> danke und gruß :)
>  
>
>
>  


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Bezug
richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mi 23.09.2009
Autor: AriR

danke schonmal für deine hilfe, klingt alles logisch :)

leider sehe ich nur immer noch nicht den fehler bei meiner überlegung :(

die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt wird oder nicht?

also dürfte die richtungsableitung in richtung v nicht anders sein als beispielsweise in richtung 10*v

jedoch gilt [mm] grad(f)*v\not= [/mm] grad(f)*(10*v)


siehst du was ich falsch mache?

gruß :)

Bezug
                        
Bezug
richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mi 23.09.2009
Autor: fred97


> danke schonmal für deine hilfe, klingt alles logisch :)
>  
> leider sehe ich nur immer noch nicht den fehler bei meiner
> überlegung :(
>  
> die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das
> selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt
> wird oder nicht?

Nein


>  
> also dürfte die richtungsableitung in richtung v nicht
> anders sein als beispielsweise in richtung 10*v

Nein


>  
> jedoch gilt [mm]grad(f)*v\not=[/mm] grad(f)*(10*v)
>  
>
> siehst du was ich falsch mache?

Das :

               "die richtungsableitung in richtung v müsste ja immer das
                selbe ergebnis liefern, egal wie v gezerrt oder gestreckt  wird "

Wie kommst Du auf so etwas ?


FRED







>  
> gruß :)


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richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mi 23.09.2009
Autor: AriR

jetzt bin ich total verwirrt :(

wenn ich jetzt zB nochmal auf folgende definition zurückgreife:

$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} [/mm] $


hier erkennt man ja auch, dass v mit einem beliebigen skalar multipliziert werden kann und das nicht an der existenz und dem eigentlichen grenzwert ändert oder?


hoffe ich schreibe jetzt nicht zu viel dummes zeug

gruß :)

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richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mi 23.09.2009
Autor: fred97


> jetzt bin ich total verwirrt :(
>  
> wenn ich jetzt zB nochmal auf folgende definition
> zurückgreife:
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}[/mm]
>  
>
> hier erkennt man ja auch, dass v mit einem beliebigen
> skalar multipliziert werden kann und das nicht an der
> existenz und dem eigentlichen grenzwert ändert oder?


Das ist doch nicht richtig ! Beispiel: f(x,y) = x+y .

1. Wir berechnen den obigen Limes in [mm] x_0=(0,0) [/mm] mit v=(1,1):

[mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{2t}{t}= 2 [/mm]

1. Wir berechnen den obigen Limes in [mm] x_0=(0,0) [/mm] mit v=(2,2):

[mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(2t,2t)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{4t}{t}= 4 [/mm]


FRED


>  
>
> hoffe ich schreibe jetzt nicht zu viel dummes zeug
>  
> gruß :)


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richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Fr 25.09.2009
Autor: AriR

hmm ja jetzt sehe ich es auch, hat ne weile gedauert, weil ich erst nicht gesehen habe wie das genau zustande kommt.

also wir hatten damals eigentlich immer gefordert, dass v normiert ist, also ||v||=1, was dann in richtungsableitung auch eher der eigentlich ableitung nahe kommt.

wäre es für ein beliebiges v demnach in der definition der richtungsableotung nicht auch "schöner" zu fordern, dass
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||} [/mm]
existieren muss?


gruß :)


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richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Fr 25.09.2009
Autor: fred97


> hmm ja jetzt sehe ich es auch, hat ne weile gedauert, weil
> ich erst nicht gesehen habe wie das genau zustande kommt.
>  
> also wir hatten damals eigentlich immer gefordert, dass v
> normiert ist, also ||v||=1,

Ja das wird oft gefordert



> was dann in richtungsableitung
> auch eher der eigentlich ableitung nahe kommt.


Das stimmt aber nicht !


>  
> wäre es für ein beliebiges v demnach in der definition
> der richtungsableotung nicht auch "schöner" zu fordern,
> dass
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||}[/mm]
>  
> existieren muss?



Bedenke:  [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t*||v||}[/mm] existiert [mm] \gdw[/mm]   [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}[/mm] existiert


FRED

>  
>
> gruß :)
>  


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richtungsableitung: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 16:31 Fr 25.09.2009
Autor: AriR

das ging ja schnell :)

ja mit der äquivalenz hast du natürlich recht, wenn aber noch durch ||v|| geteilt wird, ist es doch genau das selbe spiel mit den sekantensteigungen, bei dem der eine punkt gegen den anderen läuft, was ohne das ||v|| im allgemeinen ja nicht gegeben ist und der grenzwert ist somit "brauchbar", also hat die selben eigenschaften wie ableitungen normaler 1-dim funktionen,
oder vertue ich mich schon wieder? :(

gruß :)

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richtungsableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Mi 23.09.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

Die Größe v ist für den Kurvenverlauf unerheblich, die Richtung eines Vektors ist nur durch die Verhältnisse der Komponenten untereinander bestimmt.
Im simpelsten Beispiel: f(x) = x nach t parametrisiert.
[mm] Df(x)=\vektor{\bruch{dx}{dt}\\\bruch{dy}{dt}}=\vektor{1\\1} [/mm] für v=1
f'(x) =1/1
für v=5 [mm] Df(x)=\vektor{5\\5} [/mm] f'(x) =5/5

lg

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Bezug
richtungsableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Mi 23.09.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Die Größe v ist für den Kurvenverlauf unerheblich, die
> Richtung eines Vektors ist nur durch die Verhältnisse der
> Komponenten untereinander bestimmt.
>  Im simpelsten Beispiel: f(x) = x nach t parametrisiert.
>  
> [mm]Df(x)=\vektor{\bruch{dx}{dt}\\\bruch{dy}{dt}}=\vektor{1\\1}[/mm]
> für v=1
>  f'(x) =1/1
>  für v=5 [mm]Df(x)=\vektor{5\\5}[/mm] f'(x) =5/5



?????????????????

FRED

>  
> lg


Bezug
                                                
Bezug
richtungsableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Mi 23.09.2009
Autor: Niladhoc


uuupps.. da hab ich die definition falsch angewendet...
das totale Differential ist was anderes


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Bezug
richtungsableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Mi 23.09.2009
Autor: fred97

Dann bin ich beruhigt

FRED

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