reziproke Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist ein reziprokes Polynom
[mm] P(x)=a_{0}x^{n}+ a_{1}_x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}
[/mm]
zu zeigen ist,
entweder ist [mm] x\pm1 [/mm] ein faktor oder P(x) kann in ein Polynom mit grad n/2 transformiert werden. |
definition von reziproken polynomen findet ihr auf wikipädia.
http://de.wikipedia.org/wiki/Reziprokes_Polynom
Klar ist wir müssen es für ungerade und für gerade polynome zeigen.
Im fall ungerade ist schnell ersichtlich, dass -1 eine Nullstelle ist und somit x+1 ein faktor.
Mein problem ist jetzt ich sehe nicht dass der Fall eintreffen kann dass x=1 eine Nulsstelle ist. und scheinbar ist das problem nur bei einem graden polynom so, dass man es transformieren soll.
Mit anderen worten ich weis niht wie ich es zeigen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Was soll denn
"P(x) kann in ein Polynom mit grad n/2 transformiert werden"
bedeuten ?
FRED
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Das Polynom ist reziprok, dass heißt symmetrisch bezühlich der Koeffizienten.
und P(x) hat grad also n=2K
Anscheinend ist das möglich durch umformen und substitution.
Ich kann mir nur vorstellen dass es so umformen muss, in dem man so umsortiert, dass man die koeffizienten ausklammert:
P(x) = [mm] a_{0}x^{n}+1+a_{1}x^{n-1}+x [/mm] +..
da n gerade n=2k
P(x)= [mm] a_{0}(x^{2k}+1)+a_{1}(x^{2k-1}+x)+...
[/mm]
jetzt noch [mm] x^k [/mm] ausklammen
P(x) = [mm] x^k [a_0(x^k+(1/x^{k})) +a_1(x^{k-1}+(1/x^{k-1}))+...+a_k]
[/mm]
also ist es ein polynom vom grad k mit einem bestimmten polynom q
P(x)= [mm] x^k [/mm] q(x+(1/x)) da ja k=n/2
irgendwie so...
> Was soll denn
>
> "P(x) kann in ein Polynom mit grad n/2 transformiert
> werden"
>
> bedeuten ?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 01.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Klar ist wir müssen es für ungerade und für gerade
> polynome zeigen.
> Im fall ungerade ist schnell ersichtlich, dass -1 eine
> Nullstelle ist und somit x+1 ein faktor.
Ja, stimmt. Transformieren soll heissen, dass es für ein Polynom p mit geraden [m]n=2*k[/m] ein Polynom q mit [m]P(X)=X^k*q(X+\bruch{1}{X})[/m] gibt? Wenn ja, dann probier mal mit Polynomen vom Grad 2 und 4 - Man kann zuerst den Faktor für den Grad k von q bestimmen, dass es stimmt. Dann muss man rekursiv die Koeffizienten bestimmen.
> Mein problem ist jetzt ich sehe nicht dass der Fall
> eintreffen kann dass x=1 eine Nulsstelle ist.
Na, zB [m](X+1)^2[/m]. Aber das scheint mir nicht wesentlich.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > Mein problem ist jetzt ich sehe nicht dass der Fall
> > eintreffen kann dass x=1 eine Nulsstelle ist.
>
> Na, zB [m](X+1)^2[/m]. Aber das scheint mir nicht wesentlich.
hier meinst du aber eher $(X - [mm] 1)^2$, [/mm] nicht? :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Na, zB [m](X+1)^2[/m]. Aber das scheint mir nicht wesentlich.
>
> hier meinst du aber eher [mm](X - 1)^2[/mm], nicht? :)
Öhm, ja.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mein problem ist jetzt ich sehe nicht dass der Fall
> eintreffen kann dass x=1 eine Nulsstelle ist.
Ein weiteres Beispiel ist auch noch [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - x + 1$: dieses hat $1$ als Nullstelle (und ebenfalls $-1$).
LG Felix
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