rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Gegeben ist die rekursiv definierte Folge mit
[mm] a_1=1 [/mm] , [mm] a_{n+1}=\bruch{2}{3}*a_n [/mm] für [mm] n\ge1
[/mm]
Ermittle das Bildungsgesetz der Folge und beweise durch vollständige Induktion. |
Hallo!
Hab erstmal für n ein paar Zahlen eingesetzt und komme dann auf
[mm] a_n=\bruch{2}{3}^{n-1}
[/mm]
Nochmal Zahlen eingesetzt und das passt auch.
Nun vollständige Induktion
[mm] n=>a_n=(\bruch{2}{3})^{n-1}
[/mm]
n+1=> [mm] a_{n+1}=(\bruch{2}{3})^{n-1+1}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=(\bruch{2}{3})^{n-1}*(\bruch{2}{3})^{1}
[/mm]
Da setzt ich nun [mm] a_n [/mm] ein
[mm] a_{n+1}=a_n*(\bruch{2}{3})^{1}
[/mm]
Was mache ich nun mit der linken Seite? Kann ich da die "Regel" aus der Aufgabenstellung einsetzen? Dann wäre ich ja fertig.
Danke!
Mfg ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wie heißt dein [mm] $a_{n+1}$ [/mm] genau? Dass es konstant 2/3 ist glaube ich nicht?!
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ONeill |
Stimmt natürlich, das hab ich ausgebessert.
Mfg ONeill
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben ist die rekursiv definierte Folge mit
> [mm]a_1=1[/mm] , [mm]a_{n+1}=\bruch{2}{3}*a_n[/mm] für [mm]n\ge1[/mm]
> Ermittle das Bildungsgesetz der Folge und beweise durch
> vollständige Induktion.
> Hallo!
Hi,
> Hab erstmal für n ein paar Zahlen eingesetzt und komme
> dann auf
> [mm]a_n=\bruch{2}{3}^{n-1}[/mm]
> Nochmal Zahlen eingesetzt und das passt auch.
> Nun vollständige Induktion
Du brauchst doch erstmal den Induktionsanfang:
n=1 => [mm] a_1=(2/3)^0=1, [/mm] n=2 => [mm] s_2=2/3=(2/3)^1 [/mm]
> [mm]n=>a_n=(\bruch{2}{3})^{n-1}[/mm]
Das ist die IV Annahme.
Jetzt gehst du von n nach n+1:
> n+1=> [mm]a_{n+1}=(\bruch{2}{3})^{n-1+1}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=(\bruch{2}{3})^{n-1}*(\bruch{2}{3})^{1}[/mm]
> Da setzt ich nun [mm]a_n[/mm] ein
Ja, die IV Annahme.
> [mm]a_{n+1}=a_n*(\bruch{2}{3})^{1}[/mm]
> Was mache ich nun mit der linken Seite? Kann ich da die
> "Regel" aus der Aufgabenstellung einsetzen? Dann wäre ich
> ja fertig.
Ja, du hast jetzt gezeigt, dass [mm] a_{n+1}=a_n*2/3 [/mm] ist, und das ist die zu beweisende Aussage. Damit bist du fertig.
LG
Kroni
> Danke!
> Mfg ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ONeill |
Wunderbar Kroni, vielen Dank!
Schönen Abend noch,
ONeill
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