rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Fr 31.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit [mm] c_n [/mm] > 0 für alle n e N sei rekursiv mit [mm] c_0 [/mm] = 1,5 und [mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] 5-\bruch{4}{c_n}.
[/mm]
Untersuchen SIe die Folge auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Falls vorhanden, bestimmen SIe den Grenzwert.
Hinweis: Vollständige Induktion. |
Hallo Ihr lieben,
bei dieser Aufgabe bräuchte ich mal wieder Eure Hilfe. Bisher habe ich einzelne Folgeglieder ausgerechnet und festgestellz, dass diese Folge weder arithmetisch (da der Abstand immer kleiner wird), noch geometrisch (da der Quotient nicht immer der selbe ist) ist. Im Skript hatten wir eine ähnliche Aufgabe, bei der wir mit Hilfe des geometrischen bzw. arithmetischen Mittels angesetzt haben. Das passt hier aber irgentwie auch nicht.
Gedanklich muss ich für die Monotonie zeigen, dass jedes Folgeglied entweder größer oder kleiner als das vorangegangene ist.
Könnte mir jemand da einen Tipp geben, wie ich ansetzen muss? Bitte nicht nur "vollständige Induktion" sagen, denn das hat mich bis jetzt auch nicht weiter gebracht.
ich hab versucht über
I-Anfang [mm] c_n
I-Annahme für ein n e N gilt die Aussage.
I-Schluss n=> n+1
aber genau an der Stelle versage ich gnadenlos. Bitte um Hilfe.
Grüße Mira
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> Die Folge [mm](c_n)[/mm] mit [mm]c_n[/mm] > 0 für alle n e N sei rekursiv
> mit [mm]c_0[/mm] = 1,5 und [mm]c_{n+1}[/mm] = [mm]5-\bruch{4}{c_n}.[/mm]
> Untersuchen SIe die Folge auf Monotonie, Beschränktheit
> und Konvergenz. Falls vorhanden, bestimmen SIe den
> Grenzwert.
> Hinweis: Vollständige Induktion.
Hallo,
Du willst ja zeigen, daß die Funktion monoton wachsend ist, als [mm] c_n
Da ist es naheliegend die Differenz zu betrachten und zu zeigen, daß [mm] c_{n+1}- c_n>0 [/mm] gilt.
> aber genau an der Stelle versage ich gnadenlos.
Du solltest Dein Versagen hier präsentieren, wie sollen wir sonst wissen, wie wir Dir helfen sollen?
Im Induktionsschluß zeigst Du [mm] c_{n+2}- c_{n+1}>0.
[/mm]
Ersetze [mm] c_{n+2}und c_{n+1}, [/mm] indem Du die Rekursionsformel verwendest, und versuche dann, die Induktionsvorraussetzung unterzubringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 31.08.2007 | | Autor: | miradan |
meine Frage ist: wie kann ich [mm] c_{n+2} [/mm] auflösen? Bei explizit vorgegeben Folgen steht da z.B. nur ein 5n oder 5(n+1) was ich als 5n + 5 auflösen kann. Ist das hier analog? kann ich [mm] c_{n+2} [/mm] als [mm] c_n +c_2 [/mm] auflösen?
wenn ja steht dann im I-Schluss da:
[mm] |5-\bruch{4}{c_{n+2}}-(5-\bruch{4}{c_{n+1}})|>0
[/mm]
[mm] |5-\bruch{4}{c_n+c_2}-5+\bruch{4}{c_n+c_1}|>0
[/mm]
[mm] |\bruch{4}{c_n+3,29}+\bruch{4}{c_n+2\bruch{1}{3}}|>0
[/mm]
so und nun? kann ich jetzt schließen, dass ich, wenn ich zwei Werte addiere immer was rausbekomme? ich meine, da ja ein positiver Wert im Zähler steht und im Nenner fast das gleiche?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> meine Frage ist: wie kann ich [mm]c_{n+2}[/mm] auflösen? Bei
> explizit vorgegeben Folgen steht da z.B. nur ein 5n oder
> 5(n+1) was ich als 5n + 5 auflösen kann. Ist das hier
> analog? kann ich [mm]c_{n+2}[/mm] als [mm]c_n +c_2[/mm] auflösen?
>
> wenn ja steht dann im I-Schluss da:
>
> [mm]|5-\bruch{4}{c_{n+2}}-(5-\bruch{4}{c_{n+1}})|>0[/mm]
>
> [mm]|5-\bruch{4}{c_n+c_2}-5+\bruch{4}{c_n+c_1}|>0[/mm]
>
jetzt machst du nen dicken Fehler, [mm] c_{n+2} [/mm] ist doch nicht [mm] c_n+c_2!
[/mm]
aber du machst es auch falsch:
indvors ist 0hne Betrag!
[mm] c_{n+1}-c_n>0
[/mm]
zu zeigen damit im I-Schluss:
[mm] c_{n+2}-c_n+1>0
[/mm]
also: [mm] 5-4/c_{n+1}-c_{n+1}>0
[/mm]
jetzt noch für das hintere [mm] c_{n+1} [/mm] einstzen und dann auf Hauptnenner bringen und die Indvors benutzen.
(evt. brauchst du noch, dass alle [mm] c_n>1)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Sa 01.09.2007 | | Autor: | miradan |
> [mm]c_{n+1}-c_n>0[/mm]
> zu zeigen damit im I-Schluss:
> [mm]c_{n+2}-c_n+1>0[/mm]
Wieso +1?
> also: [mm]5-4/c_{n+1}-c_{n+1}>0[/mm]
und hier steht jetzt [mm] c_{n+1} [/mm] links anstelle von [mm] c_{n+2}???
[/mm]
> jetzt noch für das hintere [mm]c_{n+1}[/mm] einstzen und dann auf
> Hauptnenner bringen und die Indvors benutzen.
????????????????????????????????????????????
> (evt. brauchst du noch, dass alle [mm]c_n>1)[/mm]
> Gruss leduart
>
Nicht bböse sein, aber da kann doch irgentwas nicht stimmen, oder ich habs mal wieder völlig verpeilt.
bitte nochmal erklären
danke vielmals
verzweifelte Mira (die in 3 Tagen ihr staatsexamen schreibt und dies besser wohl lassen sollte;))
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> Wieso +1?
Hallo,
leduarts "+1" entspringt lediglich einem Fehler bei der Formeleingabe, was gemeint ist, dürfte eigentlich klar sein, da es sich um den Induktionsschluß handelt:
Statt
>> $ [mm] c_{n+1}-c_n>0 [/mm] $
> zu zeigen damit im I-Schluss:
>> $ [mm] c_{n+2}-c_n+1>0 [/mm] $
ist natürlich gemeint:
[mm] c_{n+2}-c_{n+1}>0.
[/mm]
> > also: [mm]5-4/c_{n+1}-c_{n+1}>0[/mm]
>
> und hier steht jetzt [mm]c_{n+1}[/mm] links anstelle von [mm]c_{n+2}???[/mm]
Ja mei!!! Die Folge ist doch rekursiv gegeben, und es ist [mm] c_{n+2} [/mm] durch die Rekursion ersetzt.
>
> > jetzt noch für das hintere [mm]c_{n+1}[/mm] einstzen und dann auf
> > Hauptnenner bringen und die Indvors benutzen.
>
> ????????????????????????????????????????????
!!!!! Mit "Indvors" meint sie Induktionsvoraussetzung.
>
> > (evt. brauchst du noch, dass alle [mm]c_n>1)[/mm]
Ja. Man muß noch sichern, daß alle [mm] c_n [/mm] positiv sind, warum, das merkt man im Laufe der Abschätzung.
> oder ich habs mal wieder völlig verpeilt.
Ob "mal wieder" kann ich nicht beurteilen.
Verpeilt: ja.
Wenn Du das Ding lösen willst - was wirklich kein sehr anspruchsvolles Vorhaben ist - solltest Du zunächst dreimal tief durchatmen.
Dann völlig von vorn beginnen.
Mach Dir die rekursive Darstellung klar.
Mach Dir klar, wie Induktion funktioniert.
Und dann erst fang an.
Erinnerst Du Dich denn noch daran, WARUM eigentlich Du Dich für die Monotonie interessierst? Nicht daß Du vor lauter Pippifax das Wesentliche aus den Augen verlierst...
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 01.09.2007 | | Autor: | miradan |
zu zeigen: [mm] c_{n+1} [/mm] > [mm] c_n [/mm]
I-Anfang: n=0 => [mm] c_1 [/mm] - [mm] c_0 [/mm] = [mm] 2\bruch{1}{3}-1,5 [/mm] > 0
I-Annahme: es gibt ein n e N für das gilt:
[mm] c_{n+1}-c_n [/mm] > 0
I-Schluss: n=> n+1
[mm] c_{n+2}-c_{n+1} [/mm] > 0
[mm] 5-\bruch{4}{c_{n+1}}-(5-\bruch{4}{c_n})
[/mm]
soweit komme ich jetzt mit. Fällt jetzt nicht die 5 raus? Weil +5-5 und wie ist mein HN?
= [mm] -\bruch{4}{c_{n+1}}+\bruch{4}{c_n}
[/mm]
egal wie ich dreh und wende, am Schluss krieg ich einen Wiederspruch raus.
also [mm] c_{n+1}
Hab die Folge aber in mein Exel gehauen und die Folge ist ganz klar monoton steigend mit Grenzwert 4. Wo ist mein Denkfehler. Ich bin Euch unendlich dankbar für Eure Geduld.
Mira
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> zu zeigen: [mm]c_{n+1}[/mm] > [mm]c_n[/mm]
>
> I-Anfang: n=0 => [mm]c_1[/mm] - [mm]c_0[/mm] = [mm]2\bruch{1}{3}-1,5[/mm] > 0
>
> I-Annahme: es gibt ein n e N für das gilt:
> [mm]c_{n+1}-c_n[/mm] > 0
>
> I-Schluss: n=> n+1
>
> [mm]c_{n+2}-c_{n+1}[/mm] > 0
>
> [mm]5-\bruch{4}{c_{n+1}}-(5-\bruch{4}{c_n})[/mm]
>
> soweit komme ich jetzt mit. Fällt jetzt nicht die 5 raus?
Hallo,
natürlich.
> Weil +5-5 und wie ist mein HN?
>
> = [mm]-\bruch{4}{c_{n+1}}+\bruch{4}{c_n}[/mm]
Ich glaube, Du solltest mal an die frische Luft gehen. Was wäre denn der Hauptnenner von [mm] -\bruch{4}{5}+\bruch{4}{7}?
[/mm]
>
> egal wie ich dreh und wende, am Schluss krieg ich einen
> Wiederspruch raus.
Solange ich nicht sehe, was Du tust, kann ich dazu nichts sagen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 01.09.2007 | | Autor: | miradan |
[mm] -\bruch{4}{c_{n+1}}+\bruch{4}{c_n}
[/mm]
[mm] =-\bruch{4c_n}{c_{n+1}*c_n}+\bruch{4c_{n+1}}{c_{n+1}*c_n}
[/mm]
[mm] =-4c_n+4c_{n+1}
[/mm]
[mm] c_{n+1}-c_n [/mm] > 0 dank Induktionsannahme
stimmts so jetzt?
Ich hab nämlich das Gefühl, ich kann nicht mehr 1+1 zusammenzählen.
Mira
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> [mm]-\bruch{4}{c_{n+1}}+\bruch{4}{c_n}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{4c_n}{c_{n+1}*c_n}+\bruch{4c_{n+1}}{c_{n+1}*c_n}[/mm]
[mm] =\bruch{4c_{n+1} - c_n}{c_{n+1}*c_n} [/mm] >0, denn
> [mm]c_{n+1}-c_n[/mm] > 0 dank Induktionsannahme
>
> stimmts so jetzt?
Nahezu. Du müßtest noch sicherstellen, daß der Nenner wirklich positiv ist, also zeigen, daß [mm] c_n>0.
[/mm]
Hier ist es sogar besser (weil: einfacher!), wenn Du zeigst, daß [mm] c_n>1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN:
[/mm]
Induktionsanfang hierfür ist klar.
Ind.vor.: [mm] c_n>1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsschluß: [mm] c_n+1= [/mm] 5- [mm] \bruch{4}{c_n} [/mm] > [mm] 5-\bruch{4}{1} [/mm] nach Ind.vor.
Auch kein Grund zur Aufregung also.
Du willst ja nun noch zeigen, daß [mm] c_n [/mm] durch die 4 nach oben beschränkt ist. Das geht ganz ähnlich.
Und vergiß nicht, warum Du das alles zeigst.
Gruß v. Angela
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