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| Aufgabe | Seien A,B nichtleere Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] so dass a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B gilt. Zeigen Sie:
a) sup A [mm] \le [/mm] inf B
b) Es gibt ein c [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe mal angepackt und denke aber das da noch was fehlt.
Hier mein Versuch.
zur a)
sup A [mm] \Rightarrow [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] A gilt: a [mm] \le [/mm] sup A
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] x [mm] \ge [/mm] sup A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A
mit b [mm] \ge [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] sup A [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B
Inf B [mm] \Rightarrow \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: b [mm] \ge [/mm] inf B
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] x [mm] \le [/mm] inf B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B
mit b [mm] \ge [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] inf B [mm] \ge [/mm] a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B gilt also:
a [mm] \le [/mm] Sup A [mm] \le [/mm] inf B [mm] \le [/mm] b
[mm] \Rightarrow [/mm] sup A [mm] \le [/mm] inf B
zur b)
Es gilt sup A [mm] \le [/mm] inf B
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] : sup A [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] inf B
(gilt: sup A = inf [mm] B\Rightarrow [/mm] sup A = c = inf B
gilt: sup A < inf B [mm] \Rightarrow [/mm] sup A < c < inf B )
mit a [mm] \le [/mm] sup A [mm] \le [/mm] inf B [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \IR: [/mm] a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
Ich hoffe mir kann jmd helfen.
mfg
ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien A,B nichtleere Teilmengen von [mm]\IR,[/mm] so dass a [mm]\le[/mm] b
> für alle a [mm]\in[/mm] A, [mm]b\in[/mm] B gilt. Zeigen Sie:
> a) sup A [mm]\le[/mm] inf B
> b) Es gibt ein c [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] b für alle a [mm]\in[/mm]
> A, b [mm]\in[/mm] B.
>
> Hallo,
> ich habe die Aufgabe mal angepackt und denke aber das da
> noch was fehlt.
> Hier mein Versuch.
>
> zur a)
>
> sup A [mm]\Rightarrow[/mm] für alle a [mm]\in[/mm] A gilt: a [mm]\le[/mm] sup A
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in \IR:[/mm] x [mm]\ge[/mm] sup A
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] a [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A
> mit b [mm]\ge[/mm] a für alle a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] sup A [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B
>
> Inf B [mm]\Rightarrow \forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B: b [mm]\ge[/mm] inf B
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in \IR:[/mm] x [mm]\le[/mm] inf B [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B
> mit b [mm]\ge[/mm] a für alle a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] inf B [mm]\ge[/mm] a [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B gilt also:
> a [mm]\le[/mm] Sup A [mm]\le[/mm] inf B [mm]\le[/mm] b
> [mm]\Rightarrow[/mm] sup A [mm]\le[/mm] inf B
Das ist aber arg umständlich.
Sei b [mm] \in [/mm] B. Dann ist a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A. Damit ist b eine obere Schranke von A, folglich ist sup A [mm] \le [/mm] b.
Da b [mm] \in [/mm] B beliebig war, haben wir: sup A ist eine untere Schranke von B.
Fazit: sup A [mm] \le [/mm] inf B.
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> zur b)
> Es gilt sup A [mm]\le[/mm] inf B
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \IR[/mm] : sup A [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] inf B
> (gilt: sup A = inf [mm]B\Rightarrow[/mm] sup A = c = inf B
> gilt: sup A < inf B [mm]\Rightarrow[/mm] sup A < c < inf B )
> mit a [mm]\le[/mm] sup A [mm]\le[/mm] inf B [mm]\le[/mm] b für alle a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]
> B
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \IR:[/mm] a [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] b für alle a
> [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B
Nimm doch einfach c=sup A.
FRED
>
> Ich hoffe mir kann jmd helfen.
>
> mfg
>
> ConstantinJ
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Hätte mal eine Frage zum b) teil:
Wäre auch folgendes richtig:
Entweder ist c das größte Element von A oder das kleinste Element von B. Beides zugleich kann nicht gelten.
Beweis zur Eindeutigkeit:
Es gebe Zahlen [mm] c_1, c_2, [/mm] so dass a [mm] \le c_1 [/mm] < [mm] c_2 \le [/mm] b für a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B. Dann kann die reelle Zahl d= [mm] (c_1 +c_2)/2 [/mm] weder zu A noch zu B gehören, im Widerspruch zur Bedingung A [mm] \cup [/mm] B = IR. Also ist c eindeutig bestimmt . Ist c nicht das größte Element von A, so kann c nicht in A liegen. Wegen A [mm] \cup [/mm] B = IR muss c dann in B liegen und dort das kleinste Element sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ist dieser Beweis so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
> Ist dieser Beweis so korrekt?
Nein!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hätte mal eine Frage zum b) teil:
> > Seien A,B nichtleere Teilmengen von $ [mm] \IR, [/mm] $ so dass a $ [mm] \le [/mm] $ b für alle
> > a $ [mm] \in [/mm] $ A, $ [mm] b\in [/mm] $ B gilt. Zeigen Sie:
> > b) Es gibt ein c $ [mm] \in \IR [/mm] $ mit a $ [mm] \le [/mm] $ c $ [mm] \le [/mm] $ b für alle a $ [mm] \in [/mm] $ A, b $ [mm] \in [/mm] $ B.
> Wäre auch folgendes richtig:
> Entweder ist c das größte Element von A oder das
> kleinste Element von B
diese Behauptung ist einfach FALSCH! (Ich gebe gleich ein Beispiel an!) Du denkst einfach zu sehr mit "Minimum und Maximum".
Schreibe hin, wie Du ein passendes [mm] $c\,$ [/mm] "wählst" und zeige, dass Deine Wahl die Behauptung erfüllt:
Wenn ich etwa [mm] $A:=(1,2)\,$ [/mm] und $B:=(3,4]$ habe, stimmt Deine obige Behauptung schon nicht mehr.
Und ein solches [mm] $c\,$ [/mm] ist i.a. alles andere als eindeutig bestimmt.
Tipp:
Definiere Dir erstmal [mm] $M:=\sup [/mm] A$ und [mm] $N:=\inf B\,.$ [/mm] Warum existieren $M,N [mm] \in \IR$? [/mm] Jetzt kannst Du sowas ähnliches machen, wie Du in Deinem "angeblichen Eindeutigkeitsbeweis" getan hast!
(Man könnte aber auch sowas wie [mm] $\frac{1}{3}M+\frac{2}{3}N$ [/mm] etwa mal ausrechnen...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Hätte mal eine Frage zum b) teil:
> Wäre auch folgendes richtig:
> Entweder ist c das größte Element von A oder das
> kleinste Element von B. Beides zugleich kann nicht gelten.
> Beweis zur Eindeutigkeit:
> Es gebe Zahlen [mm]c_1, c_2,[/mm] so dass a [mm]\le c_1[/mm] < [mm]c_2 \le[/mm] b
> für a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B. Dann kann die reelle Zahl d= [mm](c_1 +c_2)/2[/mm]
> weder zu A noch zu B gehören, im Widerspruch zur Bedingung
> A [mm]\cup[/mm] B = IR.
ich entnehme der Aufgabenstellung an keiner Stelle, dass $A [mm] \cup B=\IR$ [/mm] gelten soll. Woher hast Du diese angebliche Bedingung?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Naja, es geht ja um den Dedekindschen Schnitt und da ist ja A [mm] \cup [/mm] B =K und hier ist der Körper K ja IR...
Und dass die Schnittzahl c eindeutig ist, habe ich einem uni-Skript entnommen.... Das stand da in einem Hilfssatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja, es geht ja um den Dedekindschen Schnitt und da ist ja
> A [mm]\cup[/mm] B =K und hier ist der Körper K ja IR...
> Und dass die Schnittzahl c eindeutig ist, habe ich einem
> uni-Skript entnommen.... Das stand da in einem Hilfssatz.
das hat nun aber gar nichts direkt mit Aufgabenteil b) zu tun - da (hier oben!) geht es um das "Schnittaxiom", bei dem Zeugs, von dem Du da oben sprichst.
Du arbeitest hier nicht mit Dedekindschen Schnitten in diesem Sinne, sondern Du arbeitest mit Ergebnissen daraus:
Es geht doch um Teilmengen der reellen Zahlen. Dass eine reelle Zahl mithilfe eines Dedekindschen Schnittes definiert wurde etc. ist doch nur das abstrakte Grundgerüst, um etwa zu beweisen, dass es einen vollständigen, geordneten Körper gibt (und dann begründet man meist noch kurz, dess jeder andere vollständig geordnete Körper zu diesem ähnlich isomorph ist - d.h. dann am Ende: Egal, wie die Elemente heißen, durch "passende Umbenennung im anderen Körper" erhält man die "gleichen" Ergebnisse, auch etwa bei "größer/kleiner-Aussagen" - wo man in einem anderen vollst. geordneten Körper vielleicht sagen würde, dass ein Element 'minimauser' als ein anderes sei).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Gut, wahrscheinlich hast du Recht, habe mich davon verwirren lassen, dass über der Aufgabenstellung ,,Existenz der Dedekindschen Schnittzahl'' steht. Zu Beginn hatte Fred ja geschrieben, man könne c als sup(A) wählen. Ist das ok? Muss man dann noch beweisen, dass dieses c die gewünschte Bedingung erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, wahrscheinlich hast du Recht, habe mich davon
> verwirren lassen, dass über der Aufgabenstellung
> ,,Existenz der Dedekindschen Schnittzahl'' steht. Zu Beginn
> hatte Fred ja geschrieben, man könne c als sup(A) wählen.
genausogut wäre [mm] $\inf B\,.$ [/mm] Wodrauf ich hinaus wollte, war ein Mittel der beiden (was auch geht).
> Ist das ok?
Ja!
> Muss man dann noch beweisen, dass dieses c die
> gewünschte Bedingung erfüllt?
Natürlich. Insbesondere solltest Du erstmal kurz die Existenz von [mm] $\sup [/mm] A$ begründen:
Ich weiß nicht, was Euch alles zur Verfügung steht, aber "Standardargumente" gehen etwa so: Nach Voraussetzung ist [mm] $A\not=\emptyset\,.$ [/mm] Weil für alle $a [mm] \in [/mm] A$ und alle $b [mm] \in [/mm] B$ auch $a [mm] \le [/mm] b$ gilt, und weil $B [mm] \not=\emptyset$ [/mm] ist, können wir irgendein [mm] $b_0 \in [/mm] B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] wählen - dann gilt insbesondere $a [mm] \le b_0$ [/mm] für alle $a [mm] \in [/mm] A$ und somit ist [mm] $A\,$ [/mm] auch als noch oben beschränkt erkannt.
Also: Es ist $A [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und [mm] $A\,$ [/mm] ist nach oben beschränkt, somit existiert...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 15.05.2012 | | Autor: | rollroll |
...also existiert...
eine obere Schranke s von A in IR. Und da s' größer gleich s für jede obere Schranke s' von A gilt, ist s=sup(A)---> sup(A) existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 15.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...also existiert...
> eine obere Schranke s von A in IR.
Quatsch - deren Existenz haben wir schon längst gehabt: Das [mm] $b_0$ [/mm] war doch schon eine obere Schranke für [mm] $A\,,$ [/mm] und es war [mm] $b_0 \in \IR\,.$
[/mm]
> Und da s' größer
> gleich s für jede obere Schranke s' von A gilt, ist
> s=sup(A)---> sup(A) existiert.
Was wollen wir nun mit den [mm] $s'\,$? [/mm]
Pass' auf: Ich hatte eben gezeigt, dass [mm] $A\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist (das ist per Definitionem gleichwertig dazu, dass [mm] $A\,$ [/mm] eine obere Schranke in [mm] $\IR$ [/mm] hat). [mm] $A\,$ [/mm] ist nicht leer und nach oben beschränkt, also existiert auch [mm] $\sup [/mm] A [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Damit kannst Du nun [mm] $c:=\sup [/mm] A$ setzen - und das wichtigste ist: Dieses [mm] $c\,$ [/mm] existiert und erfüllt $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Jetzt dazu, warum dieses [mm] $c\,$ [/mm] alles tut, was es tun soll:
Per Definitionem von [mm] $\sup [/mm] A$ ist [mm] $\sup [/mm] A$ ja selbst auch obere Schranke von [mm] $A\,,$ [/mm] also gilt dann sicherlich $a [mm] \le \sup A=c\,$ [/mm] für alle $a [mm] \in A\,.$
[/mm]
Was noch zu zeigen ist: Es gilt auch [mm] $(c=)\;\;\sup [/mm] A [mm] \le [/mm] b$ für alle $b [mm] \in B\,.$ [/mm] Dafür machst Du am besten einen Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gäbe ein $b' [mm] \in [/mm] B$ mit $b' < [mm] \sup A\,.$ [/mm] Nun ist aber $b'$ auch obere Schranke von [mm] $A\,$ [/mm] (das führt (fast) sofort zu einem Widerspruch)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Di 15.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Wenn b' auch obere Schranke von A ist, müsste ja auch sup(A)=b' gelten, oder? Und das ist dann der Widerspruch, da c ja schon sup(A) ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Di 15.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ist das so als Begründung ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Di 15.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn b' auch obere Schranke von A ist, müsste ja auch
> sup(A)=b' gelten, oder?
wieso?
> Und das ist dann der Widerspruch,
> da c ja schon sup(A) ist.
Nein. Du bist zwar nahe dran, aber dennoch liegst Du ein wenig daneben:
[mm] $c=\sup A\,$ [/mm] ist die kleinste obere Schranke für [mm] $A\,.$ [/mm] Das heißt: Jede obere Schranke [mm] $S\,$ [/mm] von [mm] $A\,$ [/mm] erfüllt [mm] $c=\sup [/mm] A [mm] \le S\,.$ [/mm] Nun hatten wir ja angenommen, dass [mm] $b\,' \in [/mm] B$ mit [mm] $b\,' [/mm] < [mm] \sup A\,$ [/mm] sei. Weil [mm] $b\,'$ [/mm] aber obere Schranke von [mm] $A\,$ [/mm] ist, erfüllt dann [mm] $b\,'$ [/mm] auch automatisch [mm] $b\,' \ge c=\sup A\,.$ [/mm] Es entsteht so also aus [mm] $b\,' [/mm] < [mm] c=\sup \le b\,'$ [/mm] der Widerspruch [mm] $b\,' [/mm] < [mm] b\,'\,.$
[/mm]
(Alternativ hätte man auch so vorgehen können: Weil [mm] $b\,' \in [/mm] B$ obere Schranke von [mm] $A\,$ [/mm] ist, gilt [mm] $b\,' \ge [/mm] a$ für alle $a [mm] \in A\,.$ [/mm] Wäre nun [mm] $b\,' [/mm] < [mm] c=\sup A\,,$ [/mm] so hätten wir mit [mm] $b\,' \in \IR$ [/mm] eine kleinere obere Schranke für [mm] $A\,$ [/mm] gefunden, so dass [mm] $c\,$ [/mm] nicht die kleinste obere Schranke von [mm] $A\,$ [/mm] gewesen wäre - es müßte nämlich dann [mm] $\sup [/mm] A [mm] \le b\,'$ [/mm] und wegen der Annahme [mm] $b\,' [/mm] < [mm] c\,$ [/mm] dann auch [mm] $\sup [/mm] A < [mm] c\,$ [/mm] gelten. Das widerspricht aber [mm] $c=\sup A\,.$ [/mm] Dieser Beweis passt in etwa zu dem, was Du ausgesagt hast - Du hast es sicher ähnlich gemeint - aber wie folgerst Du [mm] $b\,'=\sup [/mm] A$? Das ist nämlich da unklar...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A,B nichtleere Teilmengen von [mm]\IR,[/mm] so dass a [mm]\le[/mm] b
> für alle a [mm]\in[/mm] A, [mm]b\in[/mm] B gilt. Zeigen Sie:
> a) sup A [mm]\le[/mm] inf B
> b) Es gibt ein c [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] b für alle a [mm]\in[/mm]
> A, b [mm]\in[/mm] B.
> zur b)
> Es gilt sup A [mm]\le[/mm] inf B
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \IR[/mm] : sup A [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] inf B
> (gilt: sup A = inf [mm]B\Rightarrow[/mm] sup A = c = inf B
> gilt: sup A < inf B [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] sup A < c < inf B )
wenn Du nur schreibst, dass dann ein solch obiges [mm] $c\,$ [/mm] existiert: Hier kannst Du nicht einfach das [mm] $\red{\Rightarrow}$ [/mm] dann schreiben. Wenn [mm] $\sup [/mm] A < [mm] \inf [/mm] B$ ist, hättest Du dann ja auch [mm] $c=\inf [/mm] B$ wählen können, wenn [mm] $\inf B=\min [/mm] B$ wäre.
Daher musst Du oben eher schreiben: Wenn [mm] $\sup [/mm] A < [mm] \inf [/mm] B$ ist, so kann man o.E. ein $c [mm] \in \IR [/mm] $ mit [mm] $\sup [/mm] A < c < [mm] \inf [/mm] B$ finden. Und da wird jeder Korrekteur dann aber fragen: Und wie kann man denn dann sowas bitte "konkret" finden/angeben?
Gruß,
Marcel
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