rang der addition von 2 matriz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien A,B [mm] \in M_{n}. [/mm] Man zeige,
rg(A+B) [mm] \le [/mm] rg(A)+rg(B)
|
hallo,
kann man das so lösen, indem man 3 Fälle unterscheidet:
1. Fall A,B [mm] \in M_{n} [/mm] (insbesondere nicht invertierbar)
=> die matrizen A und B haben beide nicht vollen Rang.
also ist dim < [mm] A_{1},A_{2},..., A_{n}> [/mm] + dim < [mm] B_{1}, B_{2},...,B_{n}> \le [/mm] dim [mm]
2. Fall: entweder A oder B [mm] \in GL_{n} [/mm]
dann gilt doch rg(A+B) = max {rg A, rgB}
3. Fall beide Matrizen [mm] \in GL_{n} [/mm]
dann gilt in jedem Fall
rg A + rg B > rg (A+B)
aber kann man das so als beweis stehen lassen?
|
|
| |
|
> Es seien A,B [mm]\in M_{n}.[/mm] Man zeige,
> rg(A+B) [mm]\le[/mm] rg(A)+rg(B)
>
> 2. Fall: entweder A oder B [mm]\in GL_{n}[/mm]
> dann gilt doch rg(A+B) = max {rg A, rgB}
Nein. Gegenbeispiel [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, B=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
> 3. Fall beide Matrizen [mm]\in GL_{n}[/mm]
> dann gilt in jedem Fall
> rg A + rg B > rg (A+B)
Ja, das stimmt. [mm] rgA+rgB=2n>n\ge [/mm] rg(A+B)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 11.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
