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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - rang(A^k) = rang(A^k+1)
rang(A^k) = rang(A^k+1) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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rang(A^k) = rang(A^k+1): Idee/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mo 28.05.2012
Autor: Studi91

Aufgabe
Sei A [mm] \in M_{nxn}(K). [/mm] Zeige: Gilt für ein k [mm] \in \IN [/mm]
[mm] rang(A^{k}) [/mm] = [mm] rang(A^{k+1}), [/mm]
dann gilt für alle i [mm] \in \IN [/mm]
[mm] rang(A^{k}) [/mm] = [mm] rang(A^{k+i}) [/mm]

Hallo,
ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Mir fällt kein vernünftiger Lösungsansatz ein. Was ich weiß ist, dass der Rang einer Matrix gleich der Dimension des Bildes ist. Außerdem sieht die Aufgabe nach Induktion aus. Aber wie komme ich dahin, bzw. wie sehen die Induktionsschitte aus?
Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar,

Grüße

        
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rang(A^k) = rang(A^k+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Mo 28.05.2012
Autor: Schadowmaster

moin Studi,

Ich nenn jetzt mal $f$ die Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] Ax$, denn wie du richtig erkannt hast musst du mit dieser arbeiten.
Zum Lösen der Aufgabe würde ich dir empfehlen das ganze auf Kerne zu verlagern.
Du hast ja bereits die Feststellung mit der Dimension des Bildes getroffen, was kannst du daraus über die Dimension des Kerns aussagen?
Was musst du für die Dimension des Kerns zeigen, damit deine gewünschte Aussage stimmt?
Machst du das so dann kannst du nämlich einen ganz speziellen Zusammenhang zwischen Kern$(f)$, [mm] Kern($f^2$), [/mm] etc. zur Lösung der Aufgabe verwenden (welchen?).

lg

Schadow

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rang(A^k) = rang(A^k+1): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:13 Mo 28.05.2012
Autor: Studi91

Zur Dimension des Kerns weiß ich, dass sie gleich der Anzahl linear unabhängiger Vektoren im Kern ist.
Außerdem kenne ich den Dimensionssatz: dim(V) = [mm] dim(Bild(f^d)) [/mm] + [mm] dim(Kern(f^d)). [/mm] Analog auch für dim(V) = [mm] dim(Bild(f^{d+1})) [/mm] + [mm] dim(Kern(f^{d+1})) [/mm] etc. Wären jetzt also die Dimension der Kerne [mm] Kern(f^d), Kern(f^{d+1})... [/mm] gleich, dann folgt daraus, dass auch die Dimension der Bilder gleich sein muss. Das heißt, dass ich mein Problem nun auf die Gleichheit der Dimension der Kerne verlagern muss?
Nur wie mache ich das? Zu den linear unabhängigen Vektoren fällt mir jetzt gerade nichts ein.

Vielen Dank und Grüße

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rang(A^k) = rang(A^k+1): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 30.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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rang(A^k) = rang(A^k+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Di 29.05.2012
Autor: fred97

f sei wie bei Shadow.

Aus $ [mm] rang(A^{k}) [/mm] $ = $ [mm] rang(A^{k+1}) [/mm] $ folgt:

      [mm] bild(f^k)= bild(f^{k+1}). [/mm]

Zeige induktiv:   [mm] bild(f^k)= bild(f^{k+i}) [/mm] für alle i $ [mm] \in \IN [/mm] $.

Bemerkung: ist V ein Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V linear, so folgt aus  [mm] bild(f^k)= bild(f^{k+1}) [/mm] für ein k [mm] \in \IN [/mm] stets auch [mm] bild(f^k)= bild(f^{k+i}) [/mm] für alle i $ [mm] \in \IN [/mm] $.

V muß nicht endlichdimensional sein !

FRED



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