r*m in Unterm. => m in Unterm. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich benötige für eine Aufgabe folgende Aussage:
"Sei $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul, $N [mm] \subseteq [/mm] M$ ein Untermodul,$r [mm] \in R\backslash\{0\}$ [/mm] und $m [mm] \in [/mm] M$. Dann gilt $rm [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \in [/mm] N$."
Gilt diese Aussage? In Vektorräumen hat man so etwas ja, dort könnte ich einfach $rm$ durch $r$ dividieren. Ich weiß aber noch nicht, wie man das für Moduln zeigen kann, falls es überhaupt stimmt.
Weiß da jemand etwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Teufel,
> Ich benötige für eine Aufgabe folgende Aussage:
> "Sei [mm]M[/mm] ein [mm]R[/mm]-Modul, [mm]N \subseteq M[/mm] ein Untermodul,[mm]r \in R^\times[/mm]
> und [mm]m \in M[/mm]. Dann gilt [mm]rm \in N \Rightarrow m \in N[/mm]."
>
> Gilt diese Aussage? In Vektorräumen hat man so etwas ja,
> dort könnte ich einfach [mm]rm[/mm] durch [mm]r[/mm] dividieren. Ich weiß
> aber noch nicht, wie man das für Moduln zeigen kann, falls
> es überhaupt stimmt.
Mit "durch r dividieren" in Vektorräumen meinst du ja genauer gesagt "mit [mm] $r^{-1}$ [/mm] multiplizieren".
Und genau das geht in Moduln auch - vorausgesetzt r hat überhaupt ein multiplikativ Inverses [mm] $r^{-1}$; [/mm] mit anderen Worten: vorausgesetzt r ist eine Einheit.
Das ist aber mit [mm] $r\in R^\times$ [/mm] vorausgesetzt. (Mit [mm] $R^\times$ [/mm] bezeichnest du doch die Einheitengruppe von R, oder?)
Also gilt die von dir genannte Aussage.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah, sorry, ich meinete hier nicht dir Einheitengruppe, sondern [mm] R\backslash\{0\}. [/mm] Ich ändere das mal, das war sehr irreführend.
r kann also wirklich alles außer der 0 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ah, sorry, ich meinete hier nicht dir Einheitengruppe,
> sondern [mm]R\backslash\{0\}.[/mm] Ich ändere das mal, das war sehr
> irreführend.
>
> r kann also wirklich alles außer der 0 sein.
Dann stimmt die Aussage nicht.
Gegenbeispiel:
[mm] $R=\IZ$
[/mm]
[mm] $M=\IZ$
[/mm]
[mm] $N=2\IZ$
[/mm]
$m=1$
$r=2$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm schade, vielen Dank für das Gegenbeispiel! Dann muss ich nochmal schauen, wie ich die Aufgabe sonst lösen kann.
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