quadratischer Nichtrest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass [mm] (\bruch{a}{p})=-1, [/mm] also dass a quadratischer Nichtrest mod p ist, für a>2 und a [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo an alle,
wir haben hierzu in der Uni einen Beweis durchgenommen, den ich allerdings nicht verstehe. Ich werde meine Fragen und die Fakten, die ich verstehe detailliert aufschreiben und hoffe, dass ich durch eure ergänzenden Erklärungen alles verstehe 
Es wird unterschieden zwischen a>2, wenn 2 a teilt und wenn 2 a nicht teilt.
(Das impliziert doch einfach nur, dass a einmal in ungerade und gerade Zahlen unterteilt wird, oder?)
i) Für a>2, mit 2 teilt a, also [mm] a=2p_{1}...p_{i}.
[/mm]
Sei q der quadratische Nichtrest (mod [mm] p_{1}). [/mm]
(Wieso nur mod [mm] p_{1} [/mm] und nicht mod [mm] p_{i}?)
[/mm]
Dann existiert nach dem Chinesischen Restsatz eine Lösung der simultanen Kongruenzen:
[mm] x\equiv [/mm] 1 (mod 8)
[mm] x\equiv [/mm] q (mod [mm] p_{2})
[/mm]
[mm] x\equiv [/mm] 1 (mod [mm] p_{2})
[/mm]
.
.
.
[mm] x\equiv [/mm] 1 (mod [mm] p_{i})
[/mm]
(Wieso mod 8? Hängt das mit dem 2. Ergänzungssatz des QRG zusammen? Und wenn ja, wie? Und wieso ist in der zweiten Zeile der quadratische Nichtrest und in der dritten wieder 1, also ein quadratischer Rest?)
Unter diesen Lösungen 4ak+x(x mit Strich oben drauf), [mm] k\in \IZ, [/mm] existieren nach Dirichlet unendlich viele Primzahlen p [mm] (ggT(x,8)=1=ggT(x,p_{n}) \forall [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(4a,x(strich))=1)
(Diese Schlussfolgerungen verstehe ich leider gar nicht. Ich weiß, dass der chinesische Restsatz x=kM als alle Lösungen definiert, aber wieso genau M=4? Und wofür werden die größter-gemeinsamer-Teiler-Schlussfolgerungen benötigt? Und wa ist das x mit dem STrich oben drauf? Steht leider nicht in meinem Skript.)
Sei nun eine dieser unendlich vielen Primzahlen p=4ak'+x(strich drauf):
[mm] (\bruch{a}{p})=(\bruch{2}{p})(\bruch{p_{1}}{p})...(\bruch{p_{i}}{p})
[/mm]
[mm] =(-1)^{(\bruch{p²-1}{8})}(\bruch{p}{p_{1}})...(\bruch{p}{p_{i}})
[/mm]
[mm] =(\bruch{q}{p_{1}})(\bruch{1}{p_{2}})...(\bruch{1}{p_{i}})
[/mm]
=-1
(Wie genau wurde die Aufteilung in der ersten Zeile von [mm] (\bruch{a}{p}) [/mm] getätigt? Zweite Zeile: Dass [mm] (\bruch{2}{p})=(-1)^{(\bruch{p²-1}{8})} [/mm] ist klar, aber wieso wurden die restlichen Brüche in der zweiten Zeile mit Zähler und Nenner vertauscht? Hier wäre eine zusätzliche Erläuterung des Vorgehens sehr nett, damit ich den Beweis für a teilt 2 nicht, also a ungerade alleine hinbekomme, diesen haben wir nicht mehr geschafft. Für den Vorgang noch wichtige Tips?)
Das war's erstmal, vielen Dank im Voraus, ich benötige die Erklärungen leider so schnell wie möglich.
Viele Grüße
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moin,
Du musst wohl ein wenig was für $p$ verraten.
Willst du zeigen, dass es für jedes [mm] $a\geq [/mm] 2$ ein $p [mm] \in \IP$ [/mm] gibt, sodass [mm] $\left( \frac{a}{p}\right) [/mm] = -1$?
Oder willst du für jede Primzahl $p$ ein $a>2$ finden, sodass [mm] $\left( \frac{a}{p}\right) [/mm] = -1$?
Wenn die Aufgabenstellung genau geklärt ist, könnte man vielleicht versuchen den Beweis auseinanderzunehmen, aber vorher braucht man daran gar nicht zu denken.
lg
Schadow
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> moin,
>
> Du musst wohl ein wenig was für [mm]p[/mm] verraten.
> Wenn die Aufgabenstellung genau geklärt ist, könnte man
> vielleicht versuchen den Beweis auseinanderzunehmen, aber
> vorher braucht man daran gar nicht zu denken.
Oh Mist, entschuldigt.
Ich möchte zeigen, dass unendlich viele Primzahlen p existieren, sodass a quadratischer Nichtrest modulo p ist, also [mm] (\bruch{a}{p})=-1.
[/mm]
a ist hierbei größer als 2 und Element der natürlichen Zahlen.
Ich hoffe jetzt können wir anfangen den Beweis auseinanderzunehmen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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