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pythagoreisches Tripel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Di 14.05.2019
Autor: questionpeter

Aufgabe
Seien a,b,c gannze Zahlen mit

[mm] a^2+b^2=c^2. [/mm]
Zeigen Sie, dass 30 ein Teiler von abc ist.


Hallo zusammen,

ich habe Zahlenbeispiele betrachtet bei den die Aussage zutrifft, nun weiß ich leier nicht wie ich es allgemein zeigen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben.

Also a=3, b=4, c=5 dann gilt [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und es ist [mm] a*b*c=3*4*5*=60\Rightarrow [/mm] 30|60

Weiter a=5, b=12, c=13, dann gilt auch da [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und es ist a*b*c=169 [mm] \Rightarrow [/mm] 30|16
Die Primfaktorzerlegung von 30 ist 5*3*2

Weiter [mm] abc\equiv [/mm] 0 mod 5*3*2

[mm] \gdw (abc)^2\equiv [/mm] 0mod 5*3*2
[mm] \gdw (ac)^2(c^2-a^2) \equiv [/mm] mod 5*3*2
[mm] \gdw (ac)^2c^2\equiv (ac)^2a^2 [/mm] mod 5*3*2

Ist mein Ansatz richtig? Falls ja wie könnte ich weitermachen? Ich wäre für jeden Tipp dankbar!

        
Bezug
pythagoreisches Tripel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Di 14.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

zeige:
1.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 2 teilbar.
2.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 3 teilbar.
3.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 5 teilbar.

Aus allen drei Punkten folgt dann das gewünschte.
Alle drei Dinge zeigst du faktisch auf dem selben Weg: betrachte die Gleichung mod   2,3,4 und überlege dir welche Werte für [mm] $c^2$ [/mm] eintreten können. Falls [mm] $c^2$ [/mm] mod 2,3,4 = 0 ist die Sache klar, falls nicht musst du daraus überlegen,  wieso dann a=0 oder b=0 mod 2,3,4 folgt

Gruß,
Gono

Bezug
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