punktweise/gleichm. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f_n(x)=nx(1-x)^n (x\in[0,1] [/mm] und [mm] n\in\IN)
[/mm]
[mm] g_n(x)=x(1-x)^n (x\in[0,1] [/mm] und [mm] n\in\IN) [/mm] |
Hallo Leute!
Meine Frage hierzu lautet:
Warum konvergiert [mm] f_n(x) [/mm] punktweise aber nicht gleichmäßig gegen f(x)=0 , aber dafür [mm] g_n(x) [/mm] punktweise und gleichmäßig gegen f(x)=0 ??
Kann mir das jemand erklären bzw. zeigen wie ich mir das berechne? Ich weiß nicht so recht wie ich mit dem [mm] (...)^n [/mm] umgehen muss.
Danke, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 12.03.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also bei der ersten denke ich kann ich helfen. Warum die zweite gleichmäßig konvergieren soll weiß ich auch nicht. Ich würde nämlich sagen, das die auch nur punktweise konvergiert.
Aber gut, vielleicht kann ja jemand anders nochmal drüber schauen und macht es besser!
Zur a)
gleichmäßige Konvergenz bedeutet:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon), [/mm] so das [mm] \forall n>N(\varepsilon) [/mm] und [mm] \forall x\in \IR [/mm] gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
Beweis (durch Abschätzung):
Grenzfunktion =0, die hattest du ja schon.
[mm] |nx(1-x)^{n}-0|=|nx(1-x)^{n}|<|n|<\varepsilon [/mm] (Widerspruch!)
Der vorletzte Betrag ist entweder 0 oder irgendetwas kleiner als 1. Also immer kleiner als n.
Der letzte Schritt allerdings erzeugt einen Widerspruch, der für die gleichmäßige Konvergenz aber notwendig wäre, denn n ist nicht kleiner als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also konvergiert die Funktionenfolge nicht gleichmäßig.
Bei der zweiten Aufgabe hätte ich es genauso gemacht, und eigentlich auch einen Widerspruch, nur schon einen Schritt früher. Deshalb verstehe ich auch nicht, warum sie gleichmäßig konvergieren soll.
Gruß,
clwoe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
> gleichmäßige Konvergenz bedeutet:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)[/mm] so das
> [mm]\forall n>N(\varepsilon)[/mm] und [mm]\forall x\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> Beweis (durch Abschätzung):
>
> Grenzfunktion =0, die hattest du ja schon.
>
> [mm]|nx(1-x)^{n}-0|=|nx(1-x)^{n}|<|n|<\varepsilon[/mm]
> (Widerspruch!)
Hallo,
wenn Du zeigen möchtest, daß eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert, mußt Du zeigen:
[mm]\exists \varepsilon_{0}>0 ~so ~dass~\forall k[/mm] [mm]\exists N_{k}[/mm] und [mm]\exists x_{k}\in \ [0,1][/mm] ,so dass:
[mm]|f_{N_{k}}(x_{k})-f(x_{k})| \ge \varepsilon_{0}[/mm]
Viele Grüße von
Heiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 14.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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