punktweise Konvergenz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 22.11.2009 | | Autor: | Cindy22 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (\IR,\,L,\bar\lambda) [/mm] der Lebesguesche Maßraum. Zeigen Sie, die Folge [mm] f_n=\chi_(_n_,_\infty_) [/mm] konvergiert punktweise gegen 0, aber nicht fast gleichmäßig. |
[mm] f_n=\chi_(_n_,_\infty_) [/mm] ist dabei ja die Indikatorfunktion
[mm] \chi_(_n_,_\infty_) [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{wenn }x \in (n, \infty) \\ 0, & \mbox{wenn }x \not\in (n,\infty)
\end{matrix}\right.
[/mm]
Wende ich da jetzt einfach die Definition von punktweiser Konvergenz an? Kann ich da nicht schon von der Definition der Indikatorfunktion ausgehen, dass sie für bestimmte x gegen 0 geht und für bestimmte x gegen 1?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 So 22.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wende ich da jetzt einfach die Definition von punktweiser
> Konvergenz an? Kann ich da nicht schon von der Definition
> der Indikatorfunktion ausgehen, dass sie für bestimmte x
> gegen 0 geht und für bestimmte x gegen 1?
Hä? Die Indikatorfunktion konvergiert nicht... das ist einfach ne feste Funktion. Du musst zeigen:
1) für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist [mm] $\lim_{n\to\infty}\chi_{(n,\infty)}(x)=0$ [/mm] (das ist die punktweise konvergenz)
2) [mm] $\operatorname{ess}\sup_{x\in\IR}|\chi_{(n,\infty)}(x)|=1$
[/mm]
Gruß, Robert
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