punkt, 2 ebenen, hesseform? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Do 12.05.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Eine Ebene E enhalte den Punkt A=(2,-1,-1) und stehe senkrecht zu den Ebenen mit den Gleichungen
E1: x+2y+z=2
E2: 2x+y-z=3
i) Ermittle die Hessesche Normalform und eine Parameterdarstellung von E
ii) Gib zwei zueinander orthogonale Richtungsvektoren v, w von E an, von denen das v waagerecht, also parallel zur xy-Ebene liegen muss |
Hi,
ich würde gerne wissen wie man an diese Aufgabe rangeht, wie fängt man an, was berechnet man?!
|
|
| |
|
Hallo Frank,
> Eine Ebene E enhalte den Punkt A=(2,-1,-1) und stehe
> senkrecht zu den Ebenen mit den Gleichungen
> E1: x+2y+z=2
> E2: 2x+y-z=3
> i) Ermittle die Hessesche Normalform und eine
> Parameterdarstellung von E
> ii) Gib zwei zueinander orthogonale Richtungsvektoren v, w
> von E an, von denen das v waagerecht, also parallel zur
> xy-Ebene liegen muss
> Hi,
> ich würde gerne wissen wie man an diese Aufgabe rangeht,
> wie fängt man an, was berechnet man?!
Schreibe die Gleichungen von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] erst einmal in eine Normalenform um. Sie muss nicht unbedingt normiert sein. Aus den beiden Normalenvektoren kannst Du dann den Normalenvektor der gesuchten Ebene E ermitteln. Er muss ja auf den beiden andern senkrecht stehen.
Dann kommt der angegebene Punkt ins Spiel. Mit dem kannst Du dann eindeutig die gesuchte Ebenengleichung aufstellen, sowohl als Hessesche Normalform (wobei da Dein Normalenvektor normiert sein muss), als auch in Parameterform.
Teil ii) ist dann auch nicht mehr schwer. Es geht, wie vorher, mit der einfachen Methode, mit der man einen Vektor findet, der auf zwei anderen senkrecht steht. Erst bei [mm] \vec{v}, [/mm] der senkrecht zu dem Normalenvektor der in i) gefundenen Ebene und dem Normalenvektor der xy-Ebene stehen muss, dann bei [mm] \vec{w}, [/mm] der senkrecht zu [mm] \vec{v} [/mm] und zum Normalenvektor der in i) gefundenen Ebene steht.
Dann mal los.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 12.05.2011 | | Autor: | frank85 |
zu i)
E1 x=1, y=1
1+2*1+z=2
z=-1
n= [mm] \vektor{1\\2\\1}
[/mm]
also Hesseform der E1: [mm] (\vec{x}-\vektor{1\\1\\-1})*\vektor{1\\2\\1}
[/mm]
E2 x=1, y=1
2+1-z=3
z=0
[mm] n=\vektor{2\\1\\-1}
[/mm]
also Hesseform der E2: [mm] (\vec{y}-\vektor{1\\1\\0})*\vektor{2\\1\\-1}
[/mm]
jetzt die Parameterform, mit den beiden Normalenvektoren als Richtugnsvektoren und dem Punkt A als Ortsvektor:
E: [mm] \vektor{2\\-1\\-1}+\vektor{1\\2\\1}\lambda+\vektor{2\\1\\-1}\mu
[/mm]
jetzt Parameterform der gefragten Ebene:
Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren:
[mm] \vektor{2\\1\\-1}*\vektor{1\\2\\1}=\vektor{-3\\3\\4}
[/mm]
normieren:
[mm] \wurzel{-3^2+2^2+4^2}=\wurzel{34}
[/mm]
also ist die HNF der Ebene E:
[mm] (\vektor{x}-\vektor{2\\-1\\-1})*\vektor{-3/\wurzel{34}\\\ 3/\wurzel{34}\\\ 4/\wurzel{34}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 13.05.2011 | | Autor: | frank85 |
> > Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren:
> > [mm]\vektor{2\\
1\\
-1}*\vektor{1\\
2\\
1}=\vektor{-3\\
3\\
4}[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hast Du dich verrechnet.
>
Okay, ich habs nochmal gerechnet, Ergebniss: [mm] \vektor{3\\-2\\1}
[/mm]
normieren:
[mm] \wurzel{3^2+-2^2+1^2}=\wurzel{14}
[/mm]
also ist die HNF der Ebene E:
[mm] (\vektor{x}-\vektor{2\\-1\\-1})*\vektor{3/\wurzel{14}\\\ -2/\wurzel{14}\\\ 1/\wurzel{14}}
[/mm]
Stimmts jetzt?
Danke :)
|
|
|
| |
|
> > > Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren:
> > > [mm]\vektor{2\\
1\\
-1}*\vektor{1\\
2\\
1}=\vektor{-3\\
3\\
4}[/mm]
>
> >
> > Da hast Du dich verrechnet.
> >
> Okay, ich habs nochmal gerechnet, Ergebniss:
> [mm]\vektor{3\\
-2\\
1}[/mm]
Hallo,
bei [mm][mm] \vektor{2\\
1\\
-1}\times \vektor{1\\
2\\
1}
[/mm]
bekomme ich etwas anderes.
Vielleicht schreibst Du mal ausführlich auf, was Du in den einzelnen Komponenten rechnest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 13.05.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo,
>
> bei [mm] \vektor{2\\1\\-1}\times \vektor{1\\2\\1}
[/mm]
>bekomme ich etwas anderes.
>Vielleicht schreibst Du mal ausführlich auf, was Du in den >einzelnen Komponenten rechnest.
>Gruß v. Angela
Okay nochmal:
[mm] \vektor{2\\1\\-1}\times \vektor{1\\2\\1}
[/mm]
ich schreibe auf [mm] \vektor{2\\1\\-1\\2\\1\\-1}\times \vektor{1\\2\\1\\1\\2\\1} [/mm] also einfach die komponenten nochmal dadrunter. dann streiche ich erste und letzte Zeile und rechne:
1*1-(-1)*2=3
-1*1-2*1=-3
2*2-1*1=3
ergebniss: [mm] \vektor{3\\-3\\3}
[/mm]
jetzt stimmts aber, oder? würd ach gut passen, denn normiert wäre das dann [mm] \vektor{1/3 \\ -1/3 \\ 1/3 \\}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, so ist es richtig.
(Das mit den untereinander geschriebenen Vektoren und dem Streichen von Zeilen hatte ich noch nie gesehen. Mach sowas aber nur als Nebenrechnung, geheim für Dich!)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frank!
So stimmt es nun. Man kann hier aber noch vereinfachen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 13.05.2011 | | Autor: | frank85 |
> Teil ii) ist dann auch nicht mehr schwer. Es geht, wie vorher, mit der einfachen Methode, mit der man einen Vektor findet, der auf zwei anderen senkrecht steht. Erst bei [mm] \vec{v}, [/mm] der senkrecht zu dem Normalenvektor der in i) gefundenen Ebene und dem Normalenvektor der xy-Ebene stehen muss, dann bei [mm] \vec{w}, [/mm] der senkrecht zu [mm] \vec{v} [/mm] und zum Normalenvektor der in i) gefundenen Ebene steht.
Danke für die Antwort, aber leider weiß ich jetzt immernoch nicht genau was ich jetzt zu rechnen habe :(
Kann jemand helfen bitte?
|
|
|
| |
|
Aufgabe:
ii) Gib zwei zueinander orthogonale Richtungsvektoren v, w von E an, von denen das v waagerecht, also parallel zur xy-Ebene liegen muss
Hallo,
Erkenntnis 1:
die Vektoren v ist senkrecht zum Normalenvektor von E.
Welche Gleichung ergibt sich hieraus?
Erkenntnis 2:
wie sehen die Vektoren aus, die parallel zur xy-Ebene liegen?
v ist ein Vielfaches davon.
Wie schlägt sich das als Gleichung nieder?
Tip:
es gibt sicher nicht nur einen Vektor v, der tut, was er tun soll.
Ob v eher lang oder kurz ist, spielt keine Rolle.
Erkenntnis 3:
w ist senkrecht zum Normalenvektor und zu v.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 13.05.2011 | | Autor: | frank85 |
> Erkenntnis 1:
> die Vektoren v ist senkrecht zum Normalenvektor von E.
> Welche Gleichung ergibt sich hieraus?
[mm] <\vec{v},\vec{n_E}>=0
[/mm]
bei dem oben errechneten Normierten Normalenvektor erhält man:
[mm] \vektor{1/3 \\ -1/3 \\ 1/3 \\},\vektor{x\\y\\z}=0
[/mm]
1/3 * x - 1/3 * y + 1/3 * z
x=1, y=1, z=0
[mm] \vec{v}= \vektor{1\\1\\0}
[/mm]
>
> Erkenntnis 2:
> wie sehen die Vektoren aus, die parallel zur xy-Ebene
> liegen?
> v ist ein Vielfaches davon.
> Wie schlägt sich das als Gleichung nieder?
Alle Vektoren die in der xy-Ebene liegen müssten ja die Form [mm] \vektor{x\\y\\0} [/mm] haben.
> Erkenntnis 3:
> w ist senkrecht zum Normalenvektor und zu v.
also wieder skalaprodukt von w und v gleich null?
[mm] \vektor{1\\1\\0\\},\vektor{x\\y\\z}=0
[/mm]
x + y + 0 * z=0
x=1, y=-1, z=0
[mm] \vec{w}= \vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
So?
|
|
|
| |
|
> > Erkenntnis 1:
> > die Vektoren v ist senkrecht zum Normalenvektor von E.
> > Welche Gleichung ergibt sich hieraus?
> [mm]<\vec{v},\vec{n_E}>=0[/mm]
> bei dem oben errechneten Normierten Normalenvektor erhält
> man:
> [mm]\vektor{1/3 \\
-1/3 \\
1/3 \\
},\vektor{x\\
y\\
z}=0[/mm]
> 1/3 * x - 1/3 * y + 1/3 * [mm] z\red{=0}
[/mm]
> x=1, y=1, z=0
> [mm]\vec{v}= \vektor{1\\
1\\
0}[/mm]
Dies ist eine mögliche Lösung, und Du hast damit gleich eine Lösung erwischt, die auch die Forderung "parallel zur xy-Ebene" erfüllt.
Weniger für die Aufgabe, als vielmehr für Dein Verständnis:
jeder Vektor [mm] \vec{v} [/mm] der Machart [mm] \vec{v}=\vektor{r-s\\r\\s} [/mm] mit r,s beliebig löst die obenstehende Gleichung.
> >
> > Erkenntnis 2:
> > wie sehen die Vektoren aus, die parallel zur xy-Ebene
> > liegen?
> > v ist ein Vielfaches davon.
> > Wie schlägt sich das als Gleichung nieder?
> Alle Vektoren die in der xy-Ebene liegen müssten ja die
> Form [mm]\vektor{x\\
y\\
0}[/mm] haben.
Genau.
> > Erkenntnis 3:
> > w ist senkrecht zum Normalenvektor und zu v.
> also wieder skalaprodukt von w und v gleich null?
> [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
},\vektor{x\\
y\\
z}=0[/mm]
> x + y + 0 * z=0
> x=1, y=-1, z=0
> [mm]\vec{w}= \vektor{1\\
-1\\
0}[/mm]
> So?
Nicht ganz.
Du suchst einen Vektor [mm] \vec{w}, [/mm] welcher gleichzeitig senkrecht ist zu [mm] \vec{v} [/mm] und dem Normalenvektor.
Es muß also gelten
[mm] \vec{w}*\vec{v}=0 [/mm] und(!)
[mm] \vec{w}*\vec{n}=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 13.05.2011 | | Autor: | frank85 |
also kreuzprodukt!?
[mm] \vec{v} \times \vec{n}=\vektor{1\\1\\0}\times\vektor{1/3 \\ -1/3 \\ 1/3}=\vektor{1/3 \\ -1/3 \\ 0}
[/mm]
das Kreuzprodukt erzeug doch einen vektor der senkrecht zu den beiden steht:)
|
|
|
| |
|
> also kreuzprodukt!?
> [mm]\vec{v} \times \vec{n}=\vektor{1\\
1\\
0}\times\vektor{1/3 \\
-1/3 \\
1/3}=\vektor{1/3 \\
-1/3 \\
0}[/mm]
>
> das Kreuzprodukt erzeug doch einen vektor der senkrecht zu
> den beiden steht:)
Hallo,
ja, mit dem Kreuzprodukt kannst Du das auch machen, wenn Du kein LGS lösen magst.
Aber Du solltest dann richtig rechnen...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
