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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:41 Mo 28.11.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand helfen bzw.mir auch sagen, ob das was ich bisher zu der folgenden Aufgabe gemacht habe richtig sein könnte...
Sei V Vektorraum über K. Unterraum U von V wird von [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V aufgespannt. Es gibt Elemente [mm] f_{1},...,f_{n} \in V^{Stern} [/mm] mit
[mm] f_{i}(v_{j})=\begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}
[/mm]
1) Zeige, dass p(x) := [mm] x-\summe_{i=1}^{n} f_{i}(x)*v_{i} [/mm] eine Projektion p: [mm] V\toV [/mm] darstellt, d.h. [mm] $p\circ [/mm] p=p$ , Kerp=U und p(V)={x [mm] \in [/mm] V / [mm] f_{i}(x)=0 [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}}. Insbesondere ist W:=p(V) ein Komplement zu U in V, d.h. es gilt [mm] V=U\oplusW.
[/mm]
2) Zeige: Ist W Komplement zu U in V, gibt es Elemente [mm] g_{1},...,g_{n} \in V^{Stern}, [/mm] so dass W={x [mm] \in [/mm] V / [mm] g_{i}(x)=0 [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}} gilt.
Also zur ersten hab ich schon ein bisschen was gemacht:
[mm] p\circp [/mm] = p(p(x)) = [mm] x-\summe_{i=1}^{n}f_{i}(x)*v_{i}-\summe_{i=1}^{n}f_{i}(x-\summe_{i=1}^{n}f_{i}(x)*v_{i})*v_{i} [/mm] = [mm] x-\summe_{i=1}^{n}f_{i}(x)*v_{i} [/mm] = p
Für Kerp=U hab ich zum Beweis vorausgesetzt, dass [mm] V=U\oplusW [/mm] ist.
Also: Jedes v [mm] \in [/mm] V hat eine eindeutige Darstellung mit v=u+w ; u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W. w ist definiert mit w=p(v). Daraus folgt Kerp=U.
Und für p(V)=... würde ich sagen, wenn [mm] f_{i}(x)=0 [/mm] ist, dann ist auch die Summe (in der Abbildungsvorschrift von p) gleich null, damit ist p(x)=x und daraus folgt doch die Behauptung.
Zur zweiten Aufgabe hatte ich bis jetzt irgenwie noch keine Idee...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Do 01.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo bobby!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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