projektion auf eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Gib die Orthogonalprojektionen auf die Eigenräume der folgenden Matrix A an. Dabei beschreibt die Matrix A eine Abbildung bezüglich einer ON-Basis. (Hinweis: Faktorisiere das Minimalpolynom, dann benutze die Zerlegung der 1 aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus und setze die Matrix ein.)
2) Bestimme anhand dieser Projektionen die Dimension der Eigenräume.
A = [mm] \pmat{2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2} [/mm] |
moin,
Da das nächste Semester bald anfängt muss ich wohl oder übel langsam mal an die Aufgaben ran gehen, die ich nicht so ohne weiteres hinkriege.
Und hier haben wir gleich mal eine davon.^^
Problem Nr. 1 ist, dass ich bisher nur das charakteristische Polynom kenne, nicht aber das Minimalpolynom.
Laut Wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom#Lineare_Algebra) ist das Minimalpolynom p das (vom Grad her) kleinste Polynom, für das gilt: $p(x) = 0 [mm] \gdw \chi(x) [/mm] = 0$
Wobei [mm] \chi [/mm] das charakteristische Polynom bezeichnet.
Stimmt das?
Wenn ja würde ich sagen, man erhält das Minimalpolynom, indem man im (faktorisierten) charakteristischen Polynom alle algebraischen Vielfachheiten auf 1 setzt, also zum Beispiel:
[mm] $\chi(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 11x^2 [/mm] + 32x + 28 = [mm] (x+2)^2(x+7)$
[/mm]
Damit wäre $p(x) = (x+2)(x+7) = [mm] x^2 [/mm] + 9x + 14$
Ein weiteres Problem ist: Was passiert, wenn das charakteristische Polynom keine Nullstellen besitzt oder nicht in komplett in Linearfaktoren zerfällt?
zB:
[mm] $\chi(x) [/mm] = [mm] (x+1)(x^2 [/mm] + 1)$
wäre hier $p(x) = (x+1)$ ?
Und wenn das charakteristische Polynom garkeine Nullstellen hat, zB:
[mm] $\chi(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1$
Dann wäre, laut Wiki, das Minimalpolynom das Polynom vom kleinsten Grad, dass die selben Nullstellen hat.
Hier ist also ein Polynom ohne Nullstellen gesucht, das einen möglichst niedrigen Grad hat.
Somit wäre p(x) = 1 (da es normiert sein soll).
Stimmt soweit alles oder labere ich hier großen Müll?
Und dann stellt sich natürlich noch die Frage, in wie fern mir das bei der Aufgabe helfen soll....
thx für Antworten
Mfg
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 So 25.09.2011 | | Autor: | hippias |
Ich denke, die Wiki Behauptung ist richtig, aber ich haette sie wohl eher so formuliert: Die Irreduziblen Faktoren des charakteristischen und des Minimalpolynoms sind identisch.
Die beiden Polynome unterscheiden sich also nur in der Vielfachheit ihrer irreduziblen Faktoren.
Helfen duerfte Dir dieser Satz aber bei Deiner Aufgabe nicht: Du wirst wohl rechnen muessen: Bestimme das charakteristische Polynom und im Notfall die Jordan-Zerlegung etc. Daraus kannst Du das Minimalpolynom ablesen. Aber andererseits ist die Matrix auch nicht so gross, dass es vielleicht nicht so schlimm wird.
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Ich kann die Eigenräume ganz klassisch "von Hand" (mit char. Polynom und co) ausrechnen und dann Projektionen darauf, das ist nicht das Problem.
Das Problem ist halt, dass ich diese Projektionen irgendwie mit dem Minimalpolynom bestimmen soll, OHNE die Eigenräume oder Eigenwerte explizit zu berechnen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 So 25.09.2011 | | Autor: | hippias |
Wenn Du das Minimalpolynom bestimmt hast, dann verstehe ich den Hinweis in der Aufgabenstellung folgendermassen: Sei [mm] $\produkt_{i=1}^{n} \pi_{i}^{e_{i}}$ [/mm] die Zerlegung von [mm] $\chi$ [/mm] in Primpolynome. Setze [mm] $\chi_{j}:= \produkt_{i=1, i\neq j}^{n} \pi_{i}^{e_{i}}$. [/mm] Dann gibt es Polynome [mm] $a_{i}$ [/mm] mit $1= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}\chi_{i}$ [/mm] (verallg. Euklidischer Algorithmus). Die Abbildungen [mm] $a_{i}(A)\chi_{i}(A)$ [/mm] sind dann die Orthoprojektoren.
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> 1) Gib die Orthogonalprojektionen auf die Eigenräume der
> folgenden Matrix A an. Dabei beschreibt die Matrix A eine
> Abbildung bezüglich einer ON-Basis. (Hinweis: Faktorisiere
> das Minimalpolynom, dann benutze die Zerlegung der 1 aus
> dem erweiterten Euklidischen Algorithmus und setze die
> Matrix ein.)
> 2) Bestimme anhand dieser Projektionen die Dimension der
> Eigenräume.
> A = [mm]\pmat{2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2}[/mm]
>
> moin,
>
> Da das nächste Semester bald anfängt muss ich wohl oder
> übel langsam mal an die Aufgaben ran gehen, die ich nicht
> so ohne weiteres hinkriege.
> Und hier haben wir gleich mal eine davon.^^
wie gut kennst du dich mit linearer algebra aus ?
>
> Problem Nr. 1 ist, dass ich bisher nur das
> charakteristische Polynom kenne, nicht aber das
> Minimalpolynom.
dann lass mal dein charakteristisches polynom hören ..
> Laut Wiki
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom#Lineare_Algebra)
> ist das Minimalpolynom p das (vom Grad her) kleinste
> Polynom, für das gilt: [mm]p(x) = 0 \gdw \chi(x) = 0[/mm]
> Wobei
> [mm]\chi[/mm] das charakteristische Polynom bezeichnet.
> Stimmt das?
>
> Wenn ja würde ich sagen, man erhält das Minimalpolynom,
> indem man im (faktorisierten) charakteristischen Polynom
> alle algebraischen Vielfachheiten auf 1 setzt, also zum
> Beispiel:
> [mm]\chi(x) = x^3 + 11x^2 + 32x + 28 = (x+2)^2(x+7)[/mm]
> Damit
> wäre [mm]p(x) = (x+2)(x+7) = x^2 + 9x + 14[/mm]
>
> Ein weiteres Problem ist: Was passiert, wenn das
> charakteristische Polynom keine Nullstellen besitzt oder
> nicht in komplett in Linearfaktoren zerfällt?
> zB:
> [mm]\chi(x) = (x+1)(x^2 + 1)[/mm]
> wäre hier [mm]p(x) = (x+1)[/mm] ?
wieso ist dass jetzt bei dir ein problem ? wenn du dein charakteristisches polynom untersuchts wirst du meherer nullstellen entdecken ;)
>
> Und wenn das charakteristische Polynom garkeine Nullstellen
> hat, zB:
> [mm]\chi(x) = x^2 + 1[/mm]
> Dann wäre, laut Wiki, das
> Minimalpolynom das Polynom vom kleinsten Grad, dass die
> selben Nullstellen hat.
> Hier ist also ein Polynom ohne Nullstellen gesucht, das
> einen möglichst niedrigen Grad hat.
> Somit wäre p(x) = 1 (da es normiert sein soll).
>
> Stimmt soweit alles oder labere ich hier großen Müll?
>
>
> Und dann stellt sich natürlich noch die Frage, in wie fern
> mir das bei der Aufgabe helfen soll....
>
>
ich befürchte du denkst zu kompliziert. Folge deiner Angabe und denk lieber nicht nach was sein könnte wenn vielleicht irgendwas ist was nicht ist ;)
> thx für Antworten
>
> Mfg
>
> Schadowmaster
Gib die Orthogonalprojektionen auf die Eigenräume der folgenden Matrix A an. Dabei beschreibt die Matrix A eine Abbildung bezüglich einer ON-Basis. Bestimme anhand dieser Projektionen die Dimension der Eigenräume.
LG Scherzkrapferl
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Wie bereits gesagt, das Polynom zu bestimmen ist kein Problem (char.Polynom = [mm] (x-1)^3(x-5), [/mm] min.Polynom = (x-1)(x-5) ).
Auch die Eigenräume lassen sich ohne weiteres berechnen, vor allem da ich Maple zur Lösung der Aufgabe benutzen darf.^^
Problem ist halt, dass ich die Projektionen ermitteln soll ohne die Eigenräume zu berechnen, denn sonst wäre der zweite Aufgabenteil sinnlos (wenn ich die Eigenräume schon explizit habe, wozu soll ich deren Dimensionen dann noch aus den Projektionen folgern?).
In der linearen Algebra kenn ich mich ein wenig aus, ich hatte bisher ein Semester.
Die Grundlagen (Vektorräume, lineare Abbildungen, etc.) sitzen; wir sind bis zum Spektralsatz gekommen (wobei ich nicht weiß, ob die Reihenfolge, in der Themen behandelt werden, überall gleich ist^^).
Also zu dem was hier benötigt wird:
Ich kenne Eigenwerte, Eigenräume, charakteristisches Polynom, Projektionen, orthogonale Projektionen und Dimensionen.^^
Aber eben nicht das Minimalpolynom und den (erweiterten) euklidschen Algorithmus nur für den ggT von Zahlen, nicht für irgendwelche Polynome...
Und ins besondere hab ich keine Idee, wie ich vorgehen soll, ohne die Eigenräume zu berechnen.
MfG
Schadow
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> Wie bereits gesagt, das Polynom zu bestimmen ist kein
> Problem (char.Polynom = [mm](x-1)^3(x-5),[/mm] min.Polynom =
> (x-1)(x-5) ).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Auch die Eigenräume lassen sich ohne weiteres berechnen,
> vor allem da ich Maple zur Lösung der Aufgabe benutzen
> darf.^^
oje .. ganz schlecht. gg
> Problem ist halt, dass ich die Projektionen ermitteln soll
> ohne die Eigenräume zu berechnen, denn sonst wäre der
> zweite Aufgabenteil sinnlos (wenn ich die Eigenräume schon
> explizit habe, wozu soll ich deren Dimensionen dann noch
> aus den Projektionen folgern?).
schon mal was von dem orthonromalisierungsverfahren von gram-schmidt gehört ;) ?
> In der linearen Algebra kenn ich mich ein wenig aus, ich
> hatte bisher ein Semester.
> Die Grundlagen (Vektorräume, lineare Abbildungen, etc.)
> sitzen; wir sind bis zum Spektralsatz gekommen (wobei ich
> nicht weiß, ob die Reihenfolge, in der Themen behandelt
> werden, überall gleich ist^^).
> Also zu dem was hier benötigt wird:
> Ich kenne Eigenwerte, Eigenräume, charakteristisches
> Polynom, Projektionen, orthogonale Projektionen und
> Dimensionen.^^
> Aber eben nicht das Minimalpolynom
wieso hast du mir oben ja schon genannt ?!
> und den (erweiterten)
> euklidschen Algorithmus nur für den ggT von Zahlen, nicht
> für irgendwelche Polynome...
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Algorithmus
>
> Und ins besondere hab ich keine Idee, wie ich vorgehen
> soll, ohne die Eigenräume zu berechnen.
> MfG
>
> Schadow
LG Scherzkrapferl
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oder:
V(1,A)=( [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] )
V(5,A)= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
V=V(1,A)+V(5,A) also [mm] \mu [/mm] (X)=(X-1)(X-5)
[mm] \mu [/mm] ... min. poly. von A
Wende den erweiterten euklidischen Algorithmus auf p:=X-1 , q:=x-5 an um 2 polynome r,s [mm] \in \IR [/mm] zu finden damit 1= rp + sq.
Damit hast du dann eine Zerlegung der 1 beziehungsweise der Identität in End(V).
danach musst du [mm] \pi [/mm] (1):= (rp)(A) , [mm] \pi [/mm] (2) := (sq)(A) setzen.
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Ja, von Gram-Schmidt hab ich schonmal was gehört, aber ich sehe grad nicht, was mir das hier nützen soll...
Das Minimalpolynom von A wäre $(x-1)(x-5)$
Die 1 könnte ich schreiben als:
$1 = [mm] \frac{1}{4}*(x-1) [/mm] - [mm] \frac{1}{4}(x-5)$
[/mm]
Ich hab mal ein wenig rumprobiert und dabei festgestellt:
Die Projektion auf den Eigenraum des Eigenwerts 5 berechnet sich als:
[mm] $\frac{A-1}{4}$
[/mm]
Die Projektion auf den Eigenraum des Eigenwerts 1 als:
[mm] $-\frac{A-5}{4}$
[/mm]
(wobei die Zahlen ggf. Einheitsmatrizen sind, damit alles wohldefiniert ist)
Somit ist also mehr oder minder ersichtlich, wie man aus dieser Darstellung der 1 die Projektionen erhält.
Dann bleibt nur noch die Frage offen wieso dies so ist, also falls jemand eine schöne Begründung weiß wieso man auf diese Art die Projektionen auf die Eigenräume erhält wäre das echt nett.
thx
Schadow
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> Ja, von Gram-Schmidt hab ich schonmal was gehört, aber ich
> sehe grad nicht, was mir das hier nützen soll...
vielleicht weil du mit maple arbeitest und nicht mit bleistift und papier.. mit gram-schmidt machst du deine orthogonalporjektion und nach anschließendem normieren erhältst du deine ONB !
entweder gram-schmidt oder die alternative methode die ich als mitteilung verfasst habe. würde beides deinem mathematischen können entsprechen
>
> Das Minimalpolynom von A wäre [mm](x-1)(x-5)[/mm]
> Die 1 könnte ich schreiben als:
> [mm]1 = \frac{1}{4}*(x-1) - \frac{1}{4}(x-5)[/mm]
>
>
> Ich hab mal ein wenig rumprobiert und dabei festgestellt:
> Die Projektion auf den Eigenraum des Eigenwerts 5
> berechnet sich als:
> [mm]\frac{A-1}{4}[/mm]
> Die Projektion auf den Eigenraum des Eigenwerts 1 als:
> [mm]-\frac{A-5}{4}[/mm]
>
> (wobei die Zahlen ggf. Einheitsmatrizen sind, damit alles
> wohldefiniert ist)
>
> Somit ist also mehr oder minder ersichtlich, wie man aus
> dieser Darstellung der 1 die Projektionen erhält.
> Dann bleibt nur noch die Frage offen wieso dies so ist,
> also falls jemand eine schöne Begründung weiß wieso man
> auf diese Art die Projektionen auf die Eigenräume erhält
> wäre das echt nett.
>
> thx
>
> Schadow
>
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 25.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Gib die Orthogonalprojektionen auf die Eigenräume der
> folgenden Matrix A an. Dabei beschreibt die Matrix A eine
> Abbildung bezüglich einer ON-Basis. (Hinweis: Faktorisiere
> das Minimalpolynom, dann benutze die Zerlegung der 1 aus
> dem erweiterten Euklidischen Algorithmus und setze die
> Matrix ein.)
> 2) Bestimme anhand dieser Projektionen die Dimension der
> Eigenräume.
> A = [mm]\pmat{2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2}[/mm]
Hier kann man einen Eigenwert und den dazu gehoerigen Eigenraum (und vor allem dessen Dimension) uebrigens im reinen Sichtflug ablesen, ohne wirklich zu rechnen:
ein [mm] $\lambda$ [/mm] ist ja Eigenwert, wenn du es von der Diagonalen abziehst und die Matriz dann nicht mehr invertierbar ist. Wenn du hier [mm] $\lambda [/mm] = 1$ abziehst, steht da eine Matrix mit nur Einsen als Eintraege. Diese ist hochgradig nicht invertierbar: der Rang ist 1. Damit hat der Kern von $A - 1 [mm] \cdot E_4$ [/mm] die Dimension $4 - 1 = 3$. Der Eigenwert 1 hat also die geom. Vielfachheit 3. Und eine Basis vom Kern kannst du auch schnell hinschreiben: nimm drei Vektoren, die in der ersten Komponente eine 1 haben, und dann in der 2. bzw. 3. bzw. 4 Komponenten eine -1.
Fehlt noch ein weiterer Eigenwert. Du kannst jetzt das char. Polynom ausrechnen und Polynomdivision mit $(X - [mm] 1)^3$ [/mm] machen, und es bleibt ein Faktor $X - [mm] \alpha$ [/mm] uebrig: dann ist [mm] $\alpha$ [/mm] der verbleibende Eigenwert. Oder du denkst noch etwas laenger drueber nach und kommst vielleicht ohne Rechnen auf den verbleibenden Eigenwert.
(Tipp: was passierst, wenn du alle Zeilen von $A - [mm] \lambda \cdot E_4$ [/mm] zusammenaddierst?)
LG Felix
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