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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 Do 17.04.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
| Aufgabe | | berechne das produkt der lösungen der gleichung [mm] z^3=27 [/mm] (komplex)! |
hallo!
hab ne frage zu einem lösungsbogen: man soll halt obige aufgabe bearbeiten und bekommt dann als ergebnis 27 (meine löung aber das solte wohl stimmen) nun steht in der Lösung dass das ergebnis gleich z wäre...müsste es nicht heißen gleich q oder wie auch immer man die zahl bezeichnet die bei [mm] z^n=q [/mm] herauskommt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fuchsschwanz!
So ganz klar ist mir Deine Frage bzw. Dein Problem nicht. Wenn Du die Lösungen der Gleichung [mm] $z^3 [/mm] \ = \ 27$ bestimmen wollst, solltest Du die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Dabei gilt: $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
In Deinem Falle gilt: $x \ = \ 27$ sowie $y \ = \ 0$ , damit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 0° \ [mm] \hat= [/mm] \ 0$ sowie $n \ = \ 3$ .
Gruß
Loddar
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hallo loddar!
danke für deine antwort...ic will nun aber das Produkt meiner Lösungen der Gleichung bilden, also z1*z2*z3 laut meiner Lösung ist dies gleich z ....es kommt aber 27 heraus...alsoist das ergebnisdoch eig q wenn man die gleichung allgemien als [mm] z^n=q [/mm] schreibt...
hoffe jetzt verständlicher
lg
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(Im folgenden sei [mm] j^2=-1)
[/mm]
Es ist [mm] z^n=r^n*e^{j0°}=q [/mm] mit [mm] q\in\IR [/mm] und q>0 sowie n [mm] \in \IN
[/mm]
Seien und [mm] z_i=r*e^{\frac{360°}{n}*i} [/mm] die Lösungen, so gilt
[mm] \produkt_{i=1}^{n}{z_i}=\produkt_{i=1}^{n}{r*e^{j\frac{360°}{n}*i}}
[/mm]
[mm] =r^n*e^{j\summe_{i=1}^{n}{\frac{360°}{n}*i}}
[/mm]
[mm] =r^n*e^{j*\frac{360°}{n}*\frac{n^2+n}{2}]}
[/mm]
[mm] =r^n*e^{j*180°(n+1)}
[/mm]
[mm] =z^n=q [/mm] falls n ungerade
[mm] =-z^n=-q [/mm] fall n gerade
qed
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hey!
danke für deine antwort!
du beweist doch nun, dass das Produkt gleich q ist? richtig? in meiner Lösung wird davon ausgegangen, dass das gleich z sein soll..soll ch mir da statt q einfach z denken? Das Lösungsbuch ist eh nicht fehlerfrei...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Fr 18.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] z^n=q [/mm] ist dann kann man entweder für das Produkt der Lösungen q schreiben oder [mm] z^n. [/mm] da q im allgemeinen für rationale Zahlen steht, sollte man es auch so verwenden.
Gruss leduart
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