prime Restklassengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 20.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \IZ_n^*:=\{m\in \IZ_n:ggT(m,n)=1\} [/mm] multiplikative Gruppe ist.
Diese Gruppe nennt man prime Restklassengruppe. |
Kann man das so machen:
1. Abgeschlossenheit:
[mm] a,b\in Z_n^*, [/mm] also [mm] ggT(a,n)=ggT(b,n)=1\Rightarrow [/mm] ggT(ab,n)=1 und also ist [mm] ab\in \IZ_n^*
[/mm]
2. Assoziativität:
[mm] a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot [/mm] c)
3. Neutralelement ist 1 (1 ist auch tatsächlich enthalten in [mm] \IZ_n^*)
[/mm]
4. Inverse Elemente:
Hier weiß ich nicht bescheid.
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Hi,
> Zeigen Sie, dass
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> [mm]\IZ_n^{\*}:=\{m\in \IZ_n:ggT(m,n)=1\}[/mm] multiplikative Gruppe
> ist.
Aufpassen, dass [mm] '\*' [/mm] wird manchmal nicht ordentlich dargestellt, nimm lieber die Umschreibung mit backslash
>
> Diese Gruppe nennt man prime Restklassengruppe.
> Kann man das so machen:
>
> 1. Abgeschlossenheit:
> [mm]a,b\in Z_n^*,[/mm] also [mm]ggT(a,n)=ggT(b,n)=1\Rightarrow[/mm]
> ggT(ab,n)=1 und also ist [mm]ab\in \IZ_n^{\*}[/mm]
Ok.
>
> 2. Assoziativität:
> [mm]a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot[/mm] c)
So wie du es aufschreibst, ist es einfach nur eine hingepinselte Behauptung. Wenn solltest du schon sagen, dass sich die Assoziativität von der regulären Multiplikation vererbt.
>
> 3. Neutralelement ist 1 (1 ist auch tatsächlich enthalten
> in [mm]\IZ_n^{\*})[/mm]
Auch das vererbt von der normalen Multiplikation auf [mm] \IZ [/mm]  Dass 1 auch in [mm] \IZ_n^{\*} [/mm] liegt ist wichtig. Ok.
>
> 4. Inverse Elemente:
Die Existenz kann mit erweitertem euklidischen Algorithmus hergeleitet werden.
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia .
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 20.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke für die Mühe.
Ich bin froh, dass ich in großen Zügen richtig liege.
Du würdest also auch einfach die Gruppenaxiome durchgehen und diese nachweisen?
Ich frage das, weil ich von anderer Seite gehört habe, ich würde das von der falschen Seite angehen und müsste zeigen:
1.) In jedem Ring R mit Einselement bildet die Menge der invertierbaren Ringelemente bzgl. Multiplikation eine Gruppe
2.) Speziell im Ring [mm] \IZ_n [/mm] sind die invertierbaren Elemente gerade jene, die zu n teilerfremd sind.
Diesen Hinweis habe ich nicht verstanden und habe daraus geschlossen, dass diese Tipps entweder in der Sprache der Ringtheorie formuliert sind oder dass die Aufgabe vllt. mehr hergibt, als ich in diesem Fall eigentlich nur zeigen soll.
[Die Aufgabe wird auf dem Übungsblatt nur mit einem Punkt bewertet, daher habe ich hier nochmals nachgefragt - daraus habe ich geschlossen, dass man wirklich nur die Gruppenaxiome "durchrattern§ soll. Die anderen Tipps erscheinen mir viel zu schwer.] |
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Hallo
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> Ich frage das, weil ich von anderer Seite gehört habe, ich
> würde das von der falschen Seite angehen und müsste
> zeigen:
> 1.) In jedem Ring R mit Einselement bildet die Menge der
> invertierbaren Ringelemente bzgl. Multiplikation eine
> Gruppe
> 2.) Speziell im Ring [mm]\IZ_n[/mm] sind die invertierbaren
> Elemente gerade jene, die zu n teilerfremd sind.
Das ist eine viel allgemeinere Herangehensweise. Ob das gefordert ist, hängt von der Aufgabenstellung ab, oder von wem dir das gesagt wurde. Für einen Punkt wäre das allerdings ein ganz schöner Overkill, soweit auszuholen. Wenn du verstehst, was ich meine
Gruß
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