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| Aufgabe | a)Entwickeln Sie [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-(ax)²}} [/mm] und g(x)=1+bsinh2x in Potenzreihen ( jeweils bis [mm] a_{6}x^{6} [/mm] )
b) Bestimmen Sie a und b so, dass die Kurve in der Nähe des Koordinatenursprungs möglichst gut übereinstimmen, d.h. die Potzenreihenentwicklung des Fehlers (f(x)-g(x)) mit einer möglichst hohen Potenz von x beginnt.
Wie lautet das erste von Null verschiedene Glied der Potenzreihe des Fehlers?
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ich bin leider auch bei dieser Aufgabe überfordert. Vielleicht hilft mir diede auch die andere von mir gestellte Frage zu verstehen.
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Hallo!
Das Problem ist hier ganz ähnlich wie in deiner anderen Aufgabe.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Die erste ist, du findest bekannte Potenzreihen, und bastelst dir daraus deine eigene zusammen.
Das ginge z.B. so:
Bekannt ist, daß [mm] e^z=1+z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+...
[/mm]
Jetzt ist [mm] \sinh(x)=\frac{e^{+x}+e^{-x}}{2}
[/mm]
Jetzt setzt du die Reihe der e-Funktion ein. Denk dran, links ist z=2x, rechts z=-2x
Danach bringst du da wieder Ordnung rein, sodaß da [mm] f(x)=\Box+\Box*x+\Box*x^2+... [/mm] steht. Das ist deine Potenzreihe.
Ähnliches läßt sich sicher auch mit g(x) machen.
Der Rest sollte dann einfach sein. Du mußt die Differenz der beiden Reihen bilden (und wieder ordnen). Versuche dann, a und b so zu bestimmen, daß die ersten Summanden der Reihe weg fallen!
Allerdings, wenn du keine fertigen Potenzreihen findest, kommst du um eine Taylorentwicklung nicht herum. Denn Potenzreihen sind letztendlich nix anderes als bereits ausgerechnete Taylorentwicklungen.
Aber versuch das damit erstmal.
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Ich habe
[mm] f(x)=1+\bruch{1}{2}*ax+\bruch{3}{8}a^2x^2+\bruch{15}{48}a^6x6
[/mm]
[mm] g(x)=1+b+2bx+2bx²+\bruch{8}{6}bx^3+\bruch{2}{3}bx^4+\bruch{4}{15}bx^5+\bruch{4}{45}bx^6
[/mm]
ist es bis hierhin richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beide Reihen sind falsch.
Wie hast du die gerechnet?
zu f, etwa f'(0)=0 nur das hab ich nachgerechnet, um zu sehen, dass deine Reihe falsch ist.
zu g wenn man die Reihen für [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] subtrahiert müssen doch alle glieder mit geraden Exponenten wegfallen?
(wenn man sie addiert alle ungeraden, also lags auch nicht an EHs Vorzeichenfehler.)
Gruss leduart
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zu a) habe ich aus der Formelsammlung
[mm] (1-x)^{-\bruch{1}{2}}=1+\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{8}x2^+\bruch{15}{48}x^3+... [/mm] und da habe ich für x=ax eingesetzt.
Aber ich muss ja [mm] (ax)^2 [/mm] einsetzen. Dann müsste da [mm] 1+\bruch{1}{2}a^2x^2+\bruch{3}{8}a^4x^4 [/mm] rauskommen, oder?
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bei b) ist mir auch ein kleiner Fehler unterlaufen, das müsste [mm] g(x)=1+b*sinh^2(x) [/mm] heißen.
Da habe ich das durch den cosh ersetzt und nun raus
[mm] 1-\bruch{b}{2}+\bruch{b}{4}*[4x-\bruch{16*x^3}{6}+\bruch{64x^5}{120}]
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab nur bis [mm] 1/2(ax)^2 [/mm] nachgesehen, das stimmt. Aber du solltest doch wohl sowas nicht nur mit Formelsammlung, sondern auch selbst können. Aber wenns da drin steht, wirds wohl stimmen.
Gruss leduart
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Aber wenn das stimmt, kommt bei f(x)-g(x) nichts sinnvolles raus. Da die beiden unterschiedliche potenzen haben.
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Vllt sind aber auch g(x) nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 14.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:58 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo EH
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen :
[mm] sinhx=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
Gruss leduart
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Stimmt mal wieder.
So hab ich auch meine Abi-Klausur geschrieben. Lösungsweg aufgestellt, ausgerechnet, dann hat meine Lösung auf mirakulösen Wegen zu meinen Nachbarn gefunden, und kurz darauf kam dann die debuggte Version zurück...
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