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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - positive Definitheit
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positive Definitheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Di 05.06.2012
Autor: GillesvR

Aufgabe
Finden Sie zwei positiv (semi)definite Matrizen A und B für die A-B positiv (semi)definit ist, aber [mm] A^{2} [/mm] - [mm] B^{2} [/mm] nicht positiv (semi)definit ist.

Ich habe jetzt das ganze mal mit ein paar Matrizen ausprobiert, aber ich habe die gewünschten Bedingungen nie hinbekommen.
Gibt es da vielleicht irgendeinen Trick, wie man solche Matrizen findet oder muss man so lange probieren, bis man Matrizen gefunden hat, die passen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
positive Definitheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Di 05.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich würde mir immer erstmal überlegen, wo es denn "kaputt" gehen könnte.

Nehmen wir der Einfachheit halber mal an, dass A und B kommutieren (uns reicht ja ein Gegenbeispiel), dann gilt ja:

[mm] $(A^2 [/mm] - [mm] B^2) [/mm] = (A+B)(A-B)$ und wir wissen bereits, dass A+B und A-B positiv semidefinit sind.

Also stellt sich die Frage, ob ein Produkt die positive Semidefinitheit erhält.
Natürlich tut es das im Normalfall nicht.....

Der Rest war Ausprobieren und Recherche, bei der man über das ein oder andere Beispiel sieht.... auch für deine Aufgabe :-)

Tip: Eine von beiden ist [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm]



Bezug
                
Bezug
positive Definitheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Di 05.06.2012
Autor: GillesvR

Danke für deine Hinweise.
Leider haben wir positiv definit nur für symmetrische (bzw. hermitesche) Matizen definiert, d.h. die  von dir genannte Matrix kann nicht verwendet werden.

Bezug
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