pos.def. Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 29.01.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei [mm] A=(a_{ij})\in\IR^{n \times n} [/mm] symmetrisch und positiv definit. Dann ist [mm] a_{jj}>0 ,\forall [/mm] j=1,2,...,n.
Zeigen Sie:
[mm] a_{ij}^2 |
Hey!
Also ich steh grad irgendwie völlig aufm Schlauch.
Ich hab einen Beweis für die obige Aufgabe. Allerdings scheint der mir unnötig kompliziert.
Kennt jemand von euch vielleicht einen kurzen, eleganten Beweis?
Ich denke es müsste irgendwie mit Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung gehen. Kriegs aber einfach nicht hin.
Bin sehr dankbar für Tips und Anregungen!
Grüße!
skoopa
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> Sei [mm]A=(a_{ij})\in\IR^{n \times n}[/mm] symmetrisch und positiv
> definit. Dann ist [mm]a_{jj}>0 ,\forall[/mm] j=1,2,...,n.
> Zeigen Sie:
> [mm]a_{ij}^2
> Ich denke es müsste irgendwie mit
> Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung gehen. Kriegs aber einfach
> nicht hin.
> Bin sehr dankbar für Tips und Anregungen!
Hallo,
vielleicht sagst Du erstmal, was die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung sagt,
und auch, wie Du darauf kommst, daß diese Aufgabe bzw. die Matrix A etwas mit ihr zu tun haben könnte.
Nimm eine ONB [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] und überleg Dir, was [mm] e_i^{T}Ae_j [/mm] ergibt...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Sa 29.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Also die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung besagt, dass für einen euklidischen Vektorrauem V mit Skalarprodukt [mm] (\cdot,\cdot) [/mm] gilt:
[mm] (x,y)^2\le(x,x)(y,y) [/mm] , [mm] \forall x,y\in [/mm] V
Wobei Gleichheit für linear abhängige Vektoren gilt.
Ich dachte ich kann das mit der Aufgabe in Verbindung bringen, weil ja gerade das im Endeffekt die Aussage ist.
Denn es gilt ja, dass jede symmetrische, positiv definite Matrix A ein Skalarprodukt [mm] (\cdot,\cdot)_{A} [/mm] definiert, für das die obige Ungleichung dann anwendbar ist.
Und wenn ich jetzt die kanonische Basis des [mm] \IR^n [/mm] nehme, also [mm] (e_{i})_{i=1,...,n} [/mm] , dann ist mit [mm] i\not=j:
[/mm]
[mm] (e_{i},e_{j})_{A}^2<(e_{i},e_{i})_{A}(e_{j},e_{j})_{A}
[/mm]
Allerdings bin ich mir jetzt nicht sicher, ob [mm] (e_{i},e_{j})_{A}=e_{i}^{T}Ae_{j}=a_{ij} [/mm] gilt.
Weil wenn das so ist, dann wäre ich ja fertig, oder?
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Was du schreibst ist genau richtig. Es ist
[mm](e_i,e_j)_A:=(e_i,Ae_j)=\left(e_i,\sum_{k=1}^na_{kj}e_k\right)=\sum_{k=1}^na_{kj}(e_i,e_k)=\sum_{k=1}^na_{kj}\delta_{ik}=a_{ij}[/mm]
Gruß, Robert
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