pos. definite symm. Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, brauche nochmal dringend Hilfe!
Es sei A = ( [mm] \alpha_{kl}) \in [/mm] M(n,n) eine positiv definite symmetrische Matrix.
Zeigen sie:
[mm] \alpha_{kk} [/mm] > 0 für k=1,........,n
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 14.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Buslenker ;)
Die Matrix [mm] $M=(m_{ij})\in \IR^{n\times n}$ [/mm] heißt positiv definit, wenn für alle [mm] $v\in\IR^{n}, v\not= [/mm] 0$ die Ungleichung
[mm] $v^{T}\cdot A\cdot [/mm] v>0$
erfüllt ist. Um daraus [mm] $m_{kk}>0, [/mm] k=1,2,...,n$ abzuleiten, musst du lediglich [mm] $v=e_k$ [/mm] wählen, d.h. den Vektor, für den alle Komponenten bis auf die $k$-te gleich Null, letztere hingegen 1 (bzw. irgendein positiver Wert) ist. Rechnest du obiges Matrizenprodukt aus, erhältst du genau die gewünschte Ungleichung.
Liebe Grüße,
Hanno
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