polynom,matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | Es sei [mm] $A:=\pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0&2&0 \\ 2&1&2} \in \IQ^{3x3}$
[/mm]
Dann ist $1$ kein Eigenwert von $A$.Man berechne ein Polynome $p(X) [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] vom grad höchstens $2$ für das $( [mm] E_3-A)^{-1}=p(A)$. [/mm] |
Hi leute,
ich hab mir schonmal ein paar Gedanken gemacht:
das $Charpol(A)= [mm] -x^3+6x^2-8=x(x-2)(x-4)$ [/mm] ist,
mit den Eigenwerten $ [mm] x_1=0 \wedge x_2=2 \wedge x_3=4$.
[/mm]
Außerdem habe ich die Eigenvektoren berechnet:
EV zu $ [mm] x_1=0 [/mm] $ ist [mm] $\vektor{-1\\ 0\\1}$
[/mm]
EV zu $ [mm] x_2=2 [/mm] $ ist [mm] $\vektor{-1\\ 2\\0}$
[/mm]
EV zu $ [mm] x_3=4 [/mm] $ ist [mm] $\vektor{1\\ 0\\1}$
[/mm]
,da hat jeder EW die algebraische Vielfachheit 1 hat und dadurch,dass es einen EV zu jedem EW gibt, ist die geometrische Vielfacheit 1,dass heißt fürs Minimalpolynom
[mm] $\mu_A(x)=x*(x-2)*(x-4)$ [/mm] , wenn man [mm] $\mu_A(A)=0$ [/mm] muss diese Gleichung stimmen nach Cayley-Hamilton und das tut es auch.
Nun ist meine Frage,da das Minimalpolynom grad $3$ hat ,weil $ [mm] \mu_A(x)=-x^3+6x^2-8=x(x-2)(x-4)$ [/mm] und [mm] $(E3-A)^{-1}$ [/mm] nicht die Nullmatrix ist,was soll ich tuen? Irgendwas mit Jordan-N.F.?
Hilffeee bitte?? :/ :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Ich würde das so machen:
aus $ ( [mm] E_3-A)^{-1}=p(A) [/mm] $ folgt
[mm] E_3=p(A)(E_3-A)
[/mm]
Ist nun [mm] \mu [/mm] ein Eigenwert von $A$ und $u$ ein zugeh. Eigenvektor, also $Au= [mm] \mu [/mm] u$, so ist $p(A)u= [mm] p(\mu)u$ [/mm] .( Ist Dir das klar ?). Also
$u=E_3u=p(A)(u- [mm] \mu [/mm] u)=p(A)u- [mm] \mu p(A)u=p(\mu)(1-\mu)u.$
[/mm]
Da $u [mm] \ne [/mm] 0$ ist, folgt:
[mm] $p(\mu)=\bruch{1}{1- \mu}$ [/mm] für jeden Eigenwert [mm] \mu [/mm] von $A$
Fazit:
$ p(0)=1, p(2)=-1$ und [mm] $p(4)=-\bruch{1}{3}$.
[/mm]
Es läuft also auf eine "Steckbriefaufgabe" (wie Du sie aus der Schule kennst) hinaus.
FRED
|
|
|
|
