pktw/glm Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f_{n} [/mm] : [mm] \IC \to \IC [/mm]
und z [mm] \mapsto (z+\frac{1}{n})^2
[/mm]
Zu untersuchen ist pktw., glm. und lokal glm. Konvergenz. |
Hallo 
Ich habe ein paar Fragen bei der Aufgabe. Der Unterschied zwischen pktw. und glm. Konvergenz ist mir aber klar.
Punktweise Konvergenz ist vorhanden, da ich bei bel., aber fest gewähltem z
als Grenzfunktion [mm] z^2 [/mm] rausbekomme..
Erste Frage: Ist diese grenzfunktion mein einziger Kandidat für glm. Konvergenz..also reicht es zu zeigen, dass die Funktionenfolge nicht glm. gegen DIESE Grenzfkt. konvergiert, wenn ich die glm. Konvergenz im allg. widerlegen möchte?
Ich würde es dann (grob) wie folgt machen:
|( z + [mm] \frac{1}{n})^{2}- z^{2}|
[/mm]
= ... = [mm] |\frac{2}{n}z [/mm] + [mm] (\frac{1}{n})^{2}|
[/mm]
Jetzt wähle ich ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 fest
Ich nehme an, dass es ein passendes [mm] N(\varepsilon) [/mm] gibt
Und für n [mm] \ge [/mm] N soll das nun ja konvergieren..
Mein [mm] \varepsilon [/mm] sei nun 1/2
Aber es soll ja für jedes z konvergieren, also sag ich einfach, dass z = [mm] n^{2}..es [/mm] liegt ja noch im Def.bereich
Da dann alle Terme pos. sind und größer 1, krieg ich den Widerspruch.
Kann man das so in etwa machen oder liege ich komplett daneben?
Frage 2:
Ich kann mir nur grob vorstellen, was lokal glm. konv. bedeutet
ich vermute mal, wenn es in einem bestimmten bereich (einschränkung des Def. bereiches) glm. konv. ist oder?
Müsste dann nicht glm. Konv. die lokale glm. Konvergenz implizieren?
Frage 3:
wie kann ich lokale glm. konv. denn zeigen..?
LG Und danke natürlich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f_{n}[/mm] : [mm]\IC \to \IC[/mm]
> und z [mm]\mapsto (z+\frac{1}{n})^2[/mm]
>
> Zu untersuchen ist pktw., glm. und lokal glm. Konvergenz.
>
> Hallo
>
> Ich habe ein paar Fragen bei der Aufgabe. Der Unterschied
> zwischen pktw. und glm. Konvergenz ist mir aber klar.
>
> Punktweise Konvergenz ist vorhanden, da ich bei bel., aber
> fest gewähltem z
> als Grenzfunktion [mm]z^2[/mm] rausbekomme..
Stimmt.
>
> Erste Frage: Ist diese grenzfunktion mein einziger Kandidat
> für glm. Konvergenz..also reicht es zu zeigen, dass die
> Funktionenfolge nicht glm. gegen DIESE Grenzfkt.
> konvergiert, wenn ich die glm. Konvergenz im allg.
> widerlegen möchte?
>
Ja
> Ich würde es dann (grob) wie folgt machen:
>
> |( z + [mm]\frac{1}{n})^{2}- z^{2}|[/mm]
> = ... = [mm]|\frac{2}{n}z[/mm] +
> [mm](\frac{1}{n})^{2}|[/mm]
>
> Jetzt wähle ich ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 fest
> Ich nehme an, dass es ein passendes [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt
> Und für n [mm]\ge[/mm] N soll das nun ja konvergieren..
>
> Mein [mm]\varepsilon[/mm] sei nun 1/2
> Aber es soll ja für jedes z konvergieren, also sag ich
> einfach, dass z = [mm]n^{2}..es[/mm] liegt ja noch im Def.bereich
> Da dann alle Terme pos. sind und größer 1, krieg ich den
> Widerspruch.
Vielleicht meinst Du es richtig.....
Wäre die Konv. glm. , so gäbe es zu [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2 ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
$ [mm] |\frac{2}{n}z [/mm] $ + $ [mm] (\frac{1}{n})^{2}| [/mm] <1/2$ für alle z [mm] \in \IC [/mm] und alle n>N.
Für n>N und [mm] z:=n^2 [/mm] liefert das aber einen Widerspruch.
>
> Kann man das so in etwa machen oder liege ich komplett
> daneben?
>
> Frage 2:
> Ich kann mir nur grob vorstellen, was lokal glm. konv.
> bedeutet
> ich vermute mal, wenn es in einem bestimmten bereich
> (einschränkung des Def. bereiches) glm. konv. ist oder?
Ist D eine Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und [mm] (f_n) [/mm] eine Funktionenfolge, [mm] f_n:D \to \IC, [/mm] so heißt [mm] (f_n) [/mm] auf D lokal glm. konvergent, wenn [mm] (f_n) [/mm] auf jeder kompakten Teilmenge von D glm. konvergiert.
> Müsste dann nicht glm. Konv. die lokale glm. Konvergenz
> implizieren?
So ist es.
>
> Frage 3:
> wie kann ich lokale glm. konv. denn zeigen..?
Sei K kompakt. Dann ist K beschränkt. Finde nun eine Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] mit:
$ [mm] |\frac{2}{n}z [/mm] $ + $ [mm] (\frac{1}{n})^{2}| \le a_n$ [/mm] für alle n und alle z [mm] \in [/mm] K.
FRED
>
> LG Und danke natürlich
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
|
|
|
|
