www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - pkt oder glm. Konvergenz
pkt oder glm. Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

pkt oder glm. Konvergenz: Überprüfen Sie Fktfolgen auf..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Di 24.01.2006
Autor: DeusRa

Aufgabe
Überprüfen Sie, ob bei den nachstehenden Funktionenfolgen punktweise oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt ( und geben Sie die Grenzfunktion an):
(i) [mm] $f_{n}: \IR \to \IR$; $x\to [/mm] exp(-n*x²)$

Hallo,
kann mir jemand mal ein Howto geben, wie man die Aufgabe zu lösen hat.
Wir haben diese Aufgabe bekommen, hatten es jedoch noch nicht in der VL, und im Internet finde ich keine Beispiel mit Vorgehensweise.
Danke.

Ein Link mit Übungsaufgaben wäre auch nicht schlecht.
Danke nochmal.

        
Bezug
pkt oder glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 24.01.2006
Autor: Stefan

Hallo DeusRa!

Es sei [mm] $1>\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Angenommen es gäbe eine [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:

[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \left|e^{-nx^2} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]

So, und jetzt betrachte mal

$x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
pkt oder glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Do 26.01.2006
Autor: DeusRa

Müsste es nicht so lauten ???
$ [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \left|e^{-nx^2} - 0 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $,
da ja  [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}exp(-nx²)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx²}}=0$ [/mm]
Und wieso definierst du das x so ?
Ich dachte, man muss sich dann (wie auch immer) ein n definieren ???

Bezug
                        
Bezug
pkt oder glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Do 26.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Ja, da habe ich mich verhaspelt, vielen Dank für den Hinweis.

Ich führe ja einen Widerspruchsbeweis.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
pkt oder glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Do 26.01.2006
Autor: DeusRa

Ah, ok.
Dann mit deinem $ x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} [/mm] $ einsetzen in
$ x:= [mm] \sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] $\left|e^{-nx^2} \right|$=$\left|e^{-n*\sqrt{ - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}}^2} \right|$=$\left|e^{-n* - \frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$=$\left|e^{n*\frac{\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$ [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw $\left|{\frac{n*\ln(\varepsilon)}{n_0}} \right|$ [/mm] < [mm] \ln(\varepsilon) \gdw [/mm]
[mm] $\left|n*\ln(\varepsilon) \right|$ \le n*\ln(\varepsilon) [/mm] < [mm] \ln(\varepsilon)*n_{0} \Rightarrow $n für dieses x gibt es kein n, welches größer als [mm] n_{0} [/mm] ist und somit konvergiert die Funktionenfolge nicht gleichmäßig.
Also konvergiert sie punktweise.
Ist das so in ungefähr richtig ?

Wie bist du denn so schnell auf Idee gekommen das x so zu definieren.



Bezug
                                        
Bezug
pkt oder glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Fr 27.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Ich hätte es anders aufgeschrieben.

Die (durch einen Widerspruch zu falsifizierende) Behauptung ist ja, dass die Ungleichung für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x$ gilt. Also müsste sie ja speziell für das von mir gewählte $x$ und [mm] $n_0$ [/mm] gelten. Zeige (im Wesentlichen mit deiner Rechnung), dass dies nicht der Fall ist.

Wie man darauf kommt? Im Allgemeinen würde ich sagen: durch Auflösen nach $x$. Ich allerdings habe es, mit hinreichender Routine, sofort gesehen.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]