permutationsmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Fr 23.01.2004 | | Autor: | lisa22 |
Hi!
Ich habe eine relativ schwierige Aufgabe, und weiss nicht so recht weiter. Vielleicht koennt ihr mir ja weiterhelfen. Es geht darum:
Sei P(n) teilmenge des K^nxn die Menge aller Permutationsmatrizen. Zeige, dass die lineare Huelle von P(n) = der Menge der schwachen magischen Quadrate des K^nxn ist.
Ich weiss ja, dass die Perm. matrizen allesamt den rang n haben muessen, und an beispielen habe ich mir deutlich gemacht, dass ich durch linear-kombinationen aus den perm matrizen durchaus alle magischen quadrate gleichen ranges erzeugen kann, aber wo und wie ich da mit einem beweis ansetzen koennte weiss ich nicht wirklich. waer supernett wenn mir einer einen kleinen oder besser groesseren tipp geben koennte. schoenes WE.
Lisa
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Fr 23.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lisa,
was ist ein "schwaches magisches Quadrat"?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 23.01.2004 | | Autor: | lisa22 |
Hallo Stefan!
Ein schwaches magisches Quadrat ist eine nxn Matrix fuer die gilt:
s(A) ist eindeutig. s(A) [mm]\in [/mm] K
[mm]\summe_{j=1}^{n}Aij = s(A) [/mm] Alle Zeilensummen = s(A)
[mm]\summe_{i=1}^{n}Aij = s(A) [/mm] Alle Spaltensummen = s(A)
ein starkes magisches Quadrat waere es, wenn zusaetzlich die beiden Diagonalen = s(A) waeren.
Zum Beispiel Einheitsmatrix des K^nxn ist schwaches magisches Quadrat mit s(A)=1 aber nicht stark, da in der einen diagonalen s(A)=n und in der anderen s(A)=1.
Lieben Gruss Lisa.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lisa,
also, die Aufgabe ist tatsächlich schwierig.
Entweder ich übersehe da jetzt eine elegante "Totschlaglösung" oder aber man muss einen sehr technischen Beweis führen.
Intuitiv kann ich dir eine Antwort geben, aber die Ausführung der technischen Details erfordert dann noch viel Arbeit, die wir ja vielleicht zusammen erledigen können.
Also, hier meine Beweisidee:
Wähle dir zwei "disjunkte" Permutationsmatrizen (also welche, für die an keiner Stelle bei beiden Matrizen eine 1 steht). Dann ist es (anschaulich klar!) möglich, alle Einträge eines beliebig vorgegebenen schwachen magischen Quadrates durch Permutationsmatrizen zu erzeugen außer an den 2n Stellen, wo die beiden Permutationsmatrizen eine 1 haben. Man kann also eine Matrix erzeugen, wo an [mm]n²-2n[/mm] Stellen "das Richtige" steht (nämlich an den Stellen, wo in den beiden Permutationsmatrizen 0en stehen) und an den übrigen [mm]2n[/mm] Stellen "irgendetwas" steht. Nun addierst du zu dieser Matrix noch Vielfache der beiden Permutationmatrizen so dazu, dass eine beliebige Zeile oder Spalte der entstehenden Matrix mit der entsprechenden Zeile oder Spalte der ursprünglich vorgegebenen Matrix übereinstimmt. Dann stimmen automatisch auch alle anderen Einträge überein und du bist fertig.
Naja, das klappt, denke ich, aber das zu formalisieren ist ja der Horror... Vielleicht fängst du damit mal an und stellst einen Vorschlag hier ins Forum.
Liebe Grüße
Stefan
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