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| Aufgabe | Sei f eine stetige Funktion auf [mm] \IR [/mm] mit der Periode 1. Man beweise,dass:
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty}\bruch{1}{N}\summe_{n=1}^{N}f(n\alpha)=\integral_{0}^{1}{f(t) dt} [/mm] für jede irrationale Zahl [mm] \alpha [/mm] gilt.Hinweis:Man zeige es zunächst für [mm] f(t)=exp(2\pi [/mm] ikt), [mm] k=0,\pm1,\pm2,... [/mm] |
Hallo! Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Den Hinweis hab ich rausbekommen: Die Summe auf der linken Seite entspricht einer geometrischen Summe und damit geht die ganze linke Seite gegen 0 (für [mm] N\to \infty). [/mm] Die rechte Seite lässt sich in cos-i*sin aufteilen und ergibt dann auch 0.
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter, ich vermute, dass es auf Fourierreihen hinausläuft, aber ich weiß nicht ,ob ich die komplexe oder die reelle Form verwenden soll. Die komplexe erscheint mir einfacher und wenn ich die Funktion einsetze bekomme ich :
[mm] f(t)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}\integral_{0}^{1}{e^{-in2\pi t}dt}. [/mm] Ist das überhaupt richtig?Und wenn ja, wie kann ich weiter machen?
Vielen Dank !!
tobacco
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.onlinemathe.de/forum/konvergenz-fourierreihe]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 13.09.2011 | | Autor: | wauwau |
Diese Aufgabe ist ein Ergebnis der Theorie der Gleichverteilung modulo 1
Wichtig für den Beweis ist der Approximationssatz von Stone-Weierstrass, der (Spezialfall: für in [mm] [0,2\pi] [/mm] periodische) stetige Funktionen besagt, dass jede stetige Funktion gleichmäßig durch trigonometrisch (mit sin(nx)) approximiert werden kann (ist auch die basis für die fourierreihen)
durch die gleichmäßigkeit kannst du Summation und Integration vertauschen.
Achtung: geometrische Reihen konvergieren nur für quotienten mit |q|<1
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Hallo wauwau,
vielen Dank für Deine Antwort!
Ich glaube, ich hab es hingekriegt :)
Gruß
tobacco_pouch
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