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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - partielle Elastizitäten
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partielle Elastizitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Do 12.11.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gegeben sei die folgende Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
f : [0, [mm] unendlich)^{2} [/mm] -->  [0, ∞),  (x1,x2) -->  f(x1,x2) := [mm] \wurzel{x1} [/mm] ⋅ [mm] x2^{1,5} [/mm]
a)  Berechnen Sie den Output  f(x1,x2)  für einen Faktoreinsatz von  x1,2 = 100.
b)  Berechnen Sie die partiellen Grenzproduktivitäten, Faktoränderungsraten und Faktorelastizitäten.
c)  Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Exponenten in  f(x1,x2)  und den partiellen
     Faktorelastizitäten?
d)  Weisen die Produktionsfaktoren  x1  und  x2  abnehmende, konstante oder zunehmende
      Grenzprodukte auf?  Begründen Sie kurz Ihre Antwort.

Bei Aufgabenteil d) weiß ich nicht, was ich machen soll.
In Aufgabenteil b) habe ich die beiden partiellen Grenzproduktivitäten herausbekommen:
[mm] \bruch{1}{2}\*x_{1}^{-0.5}\*x_{2}^{1.5} [/mm]   und

[mm] 1,5\*x_{1}^{0.5}\*x_{2}^{0.5} [/mm]

Dies sind die Grenzprodukte. Was soll ich jetzt mit denen machen?

        
Bezug
partielle Elastizitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Fr 13.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dies sind die Grenzprodukte. Was soll ich jetzt mit denen machen?

Na untersuchen, ob die bei wachsendem Faktorinput wachsend, fallend oder konstant sind…

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
partielle Elastizitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 So 15.11.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gegeben sei die folgende Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
f : [0, ∞)2 -->  [0, ∞),  (x1,x2) -->  f(x1,x2) := √x1 ⋅ x21,5
a)  Berechnen Sie den Output  f(x1,x2)  für einen Faktoreinsatz von  x1,2 = 100.
b)  Berechnen Sie die partiellen Grenzproduktivitäten, Faktoränderungsraten und Faktorelastizitäten.
c)  Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Exponenten in  f(x1,x2)  und den partiellen
     Faktorelastizitäten?
d)  Weisen die Produktionsfaktoren  x1  und  x2  abnehmende, konstante oder zunehmende
      Grenzprodukte auf?  Begründen Sie kurz Ihre Antwort.

Hallo Gono,
als Antwort auf Deinen Hinweis erstellte ich die vier zweiten partiellen Ableitungen:
[mm] \partial∂f/(∂x_1 [/mm] ) =  [mm] 1/2*〖x_1〗^{-0,5}*〖x_2〗^{-1,5} [/mm]

[mm] \partial∂f/(∂x_2 [/mm] ) =  [mm] 1,5*〖x_1〗^0,5*〖x_2〗^0,5 [/mm]

(∂^2 [mm] f)/(∂〖x_1〗^2 [/mm] ) =  - [mm] 1/2*1/2*〖x_1〗^{-1,5}*〖x_2〗^{-1,5} [/mm] =  - [mm] 1/4*〖x_1〗^{-1,5}*〖x_2〗^{-1,5} [/mm]      negativ

(∂^2 [mm] f)/(∂x_1 ∂x_2 [/mm] ) =  - [mm] 1/2*3/2*〖x_1〗^{-0,5}*〖x_2〗^{-2,5} [/mm] =  - [mm] 3/4*〖x_1〗^{-0,5}*〖x_2〗^{-2,5} [/mm]      negativ

(∂^2 [mm] f)/(∂〖x_2〗^2 [/mm] ) =  [mm] 3/2*1/2*〖x_1〗^0,5*〖x_2〗^{-0,5} [/mm] =  [mm] 3/4*〖x_1〗^0,5*〖x_2〗^{-0,5} [/mm]      positiv

(∂^2 [mm] f)/(∂x_1 ∂x_2 [/mm] ) =  [mm] 3/2*1/2*〖x_1〗^{-0,5}*〖x_2〗^0,5 [/mm] =  [mm] 3/4*〖x_1〗^{-0,5}*〖x_2〗^0,5 [/mm]      positiv

Die beiden 2. Part. Abl. der part. Abl. nach [mm] x_1 [/mm] sind beide negativ =>  part. Abl. nach x_1fällt
Entsprechend steigt die part. Abl. nach [mm] x_2. [/mm]
Ist das richtig geschlossen?
Was wäre, wenn die eine part. Abl. von [mm] x_1 [/mm] positiv und die andere part. Abl. von [mm] x_1 [/mm] negativ wäre?


Bezug
                        
Bezug
partielle Elastizitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 So 15.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  als Antwort auf Deinen Hinweis erstellte ich die vier zweiten partiellen Ableitungen:

Das ist nicht nötig.
Bei der Betrachtung der Grenzproduktivitäten wird angenommen, dass alle anderen Faktoren konstant sind.
Du brauchst also nur, wenn überhaupt, die jeweiligen zweiten  Ableitungen betrachten.
Aber selbst das ist meist gar nicht nötig… viele Funktionen kennt man ja.

> Die beiden 2. Part. Abl. der part. Abl. nach [mm]x_1[/mm] sind beide negativ =>  part. Abl. nach x_1fällt

>  Entsprechend steigt die part. Abl. nach [mm]x_2.[/mm]
>  Ist das richtig geschlossen?

Ja.

>  Was wäre, wenn die eine part. Abl. von [mm]x_1[/mm] positiv und
> die andere part. Abl. von [mm]x_1[/mm] negativ wäre?

Siehe oben… das ist nicht relevant, da die gemischten partiellen Ableitungen keine Rolle spielen.

Mal eine Lösung ohne die zweiten Ableitungen: Es ist doch
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}x_1^{-0.5}x_2^{-0.5} [/mm] = [mm] \frac{c}{\sqrt{x_1}}$ [/mm] für geeignetes $c>0$… und von der Funktion sollte bekannt sein, dass sie monoton fällt…

Analog gilt [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_2} [/mm] = [mm] c\sqrt{x_2}$ [/mm] und man sollte wissen, dass die Wurzelfunktion streng monoton wächst…

Gruß,
Gono



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